本题主要考查了椭圆的标准方程.考查了学生综合分析问题和解决问题的能力 (Ⅰ)设出椭圆方程,根据△AF1F2为正三角形可推断出a和b的关系,设b2=3λ,a2=4λ,代入椭圆方程,进而把点(,)代入即可求得λ,则椭圆的方程可得. (Ⅱ)根据(1)可求得椭圆的离心率,进而求得PF1和PQ的关系,假设PF1=F1Q根据PF1= PQ推断出PF1+F1Q=PQ,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾,假设不成立,再看若F1Q=PQ,设出P点坐标,则Q点坐标可得,进而表示出F1Q和PQ求得x和y的关系,与椭圆方程联立求得P点坐标.判断出存在点P,使得△PF1Q为等腰三角形。 (1)椭圆C的方程为+=1(a>b>0),由已知△AF1F2为正三角形,所以 sin∠AF1O==,所以=,=. 设b2=3λ,a2=4λ,椭圆方程为+=λ. 椭圆经过点(,),解得λ=1,所以椭圆C的方程为 + =1. (2)由=e=,得PF1=PQ.所以PF1≠PQ. ①若PF1=F1Q,则PF1+F1Q=PQ,与“三角形两边之和大于第三边”矛盾, 所以PF1不可能与PQ相等 ②若F1Q=PQ,设P(x,y)(x≠±2),则Q(-4,y).∴=4+x, ∴9+y2=16+8x+x2,又由+=1,得y2=3-x2. ∴9+3-x2=16+8x+x2,∴x2+8x+4=0. ∴7x2+32x+16=0.∴x=-或x=-4. 因为x∈(-2,2),所以x=-.所以P(-,±). 存在点P(-,±),使△PF1Q为等腰三角形 |