解:设直线与椭圆的交点坐标为. (1)把代入可得:, (2分) 则,当且仅当时取等号 (4分) (2)由得,,(6分) 所以 (9分) (3)(理)当直线与轴不垂直时,可设直线方程为:, 由消去整理得 则 ① 又 ② 若存在定点符合题意,且 (11分) 把①、②式代入上式整理得 (其中都是常数) 要使得上式对变量恒成立,当且仅当 ,解得 (13分) 当时,定点就是椭圆的右顶点,此时,; 当时,定点就是椭圆的左顶点,此时,; (15分) 当直线与轴垂直时,由,解得两交点坐标为 ,可验证:或 所以,存在一点(或),使直线和的斜率的乘积为 非零常数(或). (16分) |