如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

题型：不详难度：来源：

如图，已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若不过点的动直线与椭圆相交于、两点，且求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

答案

（Ⅰ）将圆的一般方程化为标准方程
，圆的圆心为,半径.
由,得直线,
即,          
由直线与圆相切,得,
或(舍去).  -----------------------------------2分
当时, , 
故椭圆的方程为 ---------------------------------4分
（Ⅱ）(方法一)由知,从而直线与坐标轴不垂直,
由可设直线的方程为，
直线的方程为.                                 
将代入椭圆的方程
并整理得: ,-----------------------------------6分
解得或,因此的坐标为,
即  ------------------------------------------8分                        
将上式中的换成,得.     
直线的方程为
化简得直线的方程为，      
因此直线过定点.

解析

略