如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,且求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于、两点,且求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

题型:不详难度:来源:
如图,已知椭圆的上顶点为,右焦点为,直线与圆相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若不过点的动直线与椭圆相交于两点,且求证:直线过定点,并求出该定点的坐标.

答案
(Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程
,圆的圆心为,半径.
,得直线,
,          
由直线与圆相切,得,
(舍去).  -----------------------------------2分
时,
故椭圆的方程为 ---------------------------------4分
(Ⅱ)(方法一)由,从而直线与坐标轴不垂直,
可设直线的方程为
直线的方程为.                                 
代入椭圆的方程
并整理得: ,-----------------------------------6分
解得,因此的坐标为,
  ------------------------------------------8分                        
将上式中的换成,得.     
直线的方程为
化简得直线的方程为,      
因此直线过定点.
解析

举一反三
设A、B是椭圆上不同的两点,点C(-3,0),若A、B、C共线,则的取值范围是   ▲   
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P为椭圆上一点,F1、F2是椭圆的左、右焦点,若使△F1PF2为直角三角形的点P共有8个,则椭圆离心率的取值范围是            
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(本小题满分16分) 如图,设椭圆的右顶点与上顶点分别
为A、B,以A为圆心,OA为半径的圆与以B为圆心,OB为半径的圆相交于点O、P.

(1)求点P的坐标;
(2) 若点P在直线上,求椭圆的离心率;
(3) 在(2)的条件下,设M是椭圆上的一动点,且点N(0,1)到椭圆上点的最近距离为3,求椭圆的方程.
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(文科做)(本小题满分16分)
已知椭圆过点,离心率为,圆的圆心为坐标原点,直径为椭圆的短轴,圆的方程为.过圆上任一点作圆的切线,切点为
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与圆的另一交点为,当弦最大时,求直线的直线方程;
(3)求的最值.
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已知直线与椭圆相交于AB两点.
(1)若椭圆的离心率为,焦距为2,求线段AB的长;
(2)若向量与向量互相垂直(其中O为坐标原点),当椭圆的离心率 时,求椭圆的长轴长的最大值
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