(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)定义变换:可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地,若曲线上一点经变换公式变换后得到

(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)定义变换:可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地,若曲线上一点经变换公式变换后得到

题型:不详难度:来源:
(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)
定义变换可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地,若曲线上一点经变换公式变换后得到的点与点重合,则称点是曲线在变换下的不动点.
(1)若椭圆的中心为坐标原点,焦点在轴上,且焦距为,长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆的标准方程. 并求出当时,其两个焦点经变换公式变换后得到的点的坐标;
(2)当时,求(1)中的椭圆在变换下的所有不动点的坐标;
(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
)下的不动点的存在情况和个数.
答案
(1)(2)(3)两个
解析
(1)设椭圆的标准方程为),由椭圆定义知焦距,即…①.
又由条件得…②,故由①、②可解得.
即椭圆的标准方程为.
且椭圆两个焦点的坐标分别为.
对于变换,当时,可得
分别是由的坐标由变换公式变换得到.于是,,即的坐标为
的坐标为.
(2)设是椭圆在变换下的不动点,则当时,
,由点,即,得:
因而椭圆的不动点共有两个,分别为.
(3) 设是双曲线在变换下的不动点,则由

因为,故.
不妨设双曲线方程为),由代入得
则有,
因为,故当时,方程无解;
时,要使不动点存在,则需
因为,故当时,双曲线在变换下一定有2个不动点,否则不存在不动点.
进一步分类可知:
(i)当时,即双曲线的焦点在轴上时,

此时双曲线在变换下一定有2个不动点;
(ii)当时,即双曲线的焦点在轴上时,
.

此时双曲线在变换下一定有2个不动点.
举一反三
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分、第3小题满分6分.
已知的顶点在椭圆上,在直线上,

(1)求边中点的轨迹方程;
(2)当边通过坐标原点时,求的面积;
(3)当,且斜边的长最大时,求所在直线的方程.
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已知是椭圆的两个焦点,是椭圆上的任意一点,则的最大值是                              (     )
、9        、16            
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在x轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形,设P为该椭圆上的动点,CD的坐标分别是,则PC·PD的最大值为   
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若椭圆上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为       .
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已知是以,为焦点的椭圆上的一点,若,,则此椭圆的离心率为____________.
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