(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)定义变换:可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地,若曲线上一点经变换公式变换后得到
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(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)定义变换:可把平面直角坐标系上的点变换到这一平面上的点.特别地,若曲线上一点经变换公式变换后得到
题型:不详
难度:
来源:
(本题满分18分,其中第1小题6分,第2小题4分,第3小题8分)
定义变换
:
可把平面直角坐标系上的点
变换到这一平面上的点
.特别地,若曲线
上一点
经变换公式
变换后得到的点
与点
重合,则称点
是曲线
在变换
下的不动点.
(1)若椭圆
的中心为坐标原点,焦点在
轴上,且焦距为
,长轴顶点和短轴顶点间的距离为2. 求该椭圆
的标准方程. 并求出当
时,其两个焦点
、
经变换公式
变换后得到的点
和
的坐标;
(2)当
时,求(1)中的椭圆
在变换
下的所有不动点的坐标;
(3)试探究:中心为坐标原点、对称轴为坐标轴的双曲线在变换
:
(
,
)下的不动点的存在情况和个数.
答案
(1)
(2)
(3)两个
解析
(1)设椭圆
的标准方程为
(
),由椭圆定义知焦距
,即
…①.
又由条件得
…②,故由①、②可解得
,
.
即椭圆
的标准方程为
.
且椭圆
两个焦点的坐标分别为
和
.
对于变换
:
,当
时,可得
设
和
分别是由
和
的坐标由变换公式
变换得到.于是,
,即
的坐标为
;
又
即
的坐标为
.
(2)设
是椭圆
在变换
下的不动点,则当
时,
有
,由点
,即
,得:
,
因而椭圆
的不动点共有两个,分别为
和
.
(3) 设
是双曲线在变换
下的不动点,则由
因为
,
,故
.
不妨设双曲线方程为
(
),由
代入得
则有
,
因为
,故当
时,方程
无解;
当
时,要使不动点存在,则需
,
因为
,故当
时,双曲线
在变换
下一定有2个不动点,否则不存
在不动点.
进一步分类可知:
(i)当
,
时,即双曲线的焦点在
轴上时,
;
此时双曲线在变换
下一定有2个不动点;
(ii)当
,
时,即双曲线的焦点在
轴上时,
.
此时双曲线在变换
下一定有2个不动点.
举一反三
(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分、第3小题满分6分.
已知
的顶点
在椭圆
上,
在直线
上,
且
.
(1)求边
中点的轨迹方程;
(2)当
边通过坐标原点
时,求
的面积;
(3)当
,且斜边
的长最大时,求
所在直线的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知
是椭圆
的两个焦点,
是椭圆上的任意一点,则
的最大值是 ( )
、9
、16
、
、
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
x
轴上,以其两个焦点和短轴的两个端点为顶点的
四边形是一个面积为4的正方形,设
P
为该椭圆上的动点,
C
、
D
的坐标分别是
,则
PC
·
PD
的最大值为
.
题型:不详
难度:
|
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若椭圆
上存在一点M,它到左焦点的距离是它到右准线距离的2倍,则椭圆离心率的最小值为
.
题型:不详
难度:
|
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已知
是以
,
为焦点的椭圆
上的一点,若
,
,则此椭圆的离心率为____________.
题型:不详
难度:
|
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