已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),且椭圆过点A(2,1).(1)求椭圆的方程;(2)设M(0,m)(m>0),P是椭圆上的一个

已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为(2,0),且椭圆过点A(2,1).(1)求椭圆的方程;(2)设M(0,m)(m>0),P是椭圆上的一个

题型:不详难度:来源:
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的一个焦点为(


2
,0),且椭圆过点A(


2
,1).
(1)求椭圆的方程;
(2)设M(0,m)(m>0),P是椭圆上的一个动点,求PM的最大值(用m表示).
答案
(1)由题意,c=


2
,则a2=b2+2.           …(2分)
可设椭圆方程为
x2
b2+2
+
y2
b2
=1

∵椭圆过点(


2
,1),∴
2
b2+2
+
1
b2
=1
,解得b2=2. …(4分)
(或由椭圆定义,得2a=


(2


2
)
2
+1
+1=4
,则a=2,同样得2分)
∴椭圆方程为
x2
4
+
y2
2
=1
.                      …(6分)
(2)设P(x0,y0),则
x20
+2
y20
=4

PM2=(x0-0)2+(y0-m)2=2m2+4-(y0+m)2.  …(9分)
x20
+2
y20
=4
,得y0∈[-


2


2
]
.               …(11分)
∴当m∈(0,


2
]
时,在y0=-m时,得PM的最大值为


4+2m2
; …(13分)
m∈(


2
,+∞)
时,在y0=-


2
时,得PM的最大值为m+


2
.  …(15分)
PMmax=







2m2+4
,  m∈(0,


2
]
m+


2
,     m∈(


2
,+∞)
…(16分)
举一反三
在△ABC中,|AB|=|AC|=2,顶点A,B在椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
上,顶点C为椭圆的左焦点,线段AB过椭圆的右焦点F且垂直于长轴,则该椭圆的离心率为(  )
A.


2
2
B.
1
2
C.


3
6
D.


3
3
题型:不详难度:| 查看答案
已知椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a>0)的焦点坐标为(


7
,0)
,则a的值为(  )
A.


2
B.


10
C.4D.10
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设椭圆
x2
b2
+
y2
a2
=1(a>b>0)的焦点为F1、F2,P是椭圆上任一点,若∠F1PF2的最大值为
3
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设直线l与椭圆交于M、N两点,且l与以原点为圆心,短轴长为直径的圆相切.已知|MN|的最大值为4,求椭圆的方程和直线l的方程.
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设F1,F2分别是椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的左,右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为______.
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椭圆
x2
12
+
y2
b2
=1(0<b<2


3
)
与渐近线为x±2y=0的双曲线有相同的焦点F1,F2,P为它们的一个公共点,且∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率为(  )
A.


6
6
B.


21
6
C.


30
6
D.


15
6
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