设P是椭圆x225+y216=1上的一点，F1、F2是焦点，若∠F1PF2=60°，则△PF1F2的面积为______．

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设P是椭圆

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，若∠F₁PF₂=60°，则△PF₁F₂的面积为______．

答案

∵椭圆方程是

=1，
∴a²=25，b²=16．可得a=5，c²=25-16=9，即c=3．
∵P是椭圆

=1上的一点，F₁、F₂是焦点，
∴根据椭圆的定义，得PF₁+PF₂=2a=10…①
又∵△F₁PF₂中，∠F₁PF₂=60°且F₁F₂=2c=6
∴根据余弦定理，得F₁F₂²=PF₁²+PF₂²-2PF₁•PF₂cos60°=36
即PF₁²+PF₂²-PF₁•PF₂=36…②
∴①②联解，得PF₁•PF₂=

根据正弦定理，得△PF₁F₂的面积为：S=

PF₁•PF₂sin60°=

故答案为：

举一反三

在平面直角坐标系xOy中，椭圆

=1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过P(

，0)作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为______．魔方格

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椭圆

=1(a＞b＞0)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是______．

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已知抛物线C：y²=8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在C上且|AK|=

|AF|，则△AFK的面积为______．

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若椭圆经过点（2，3），且焦点为F₁（-2，0），F₂（2，0），则这个椭圆的离心率等于______．

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已知椭圆C：

=1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F₁（-c，0）、F₂（c，0），且a，b，c成等比数列．
（1）求椭圆的离心率e的值．
（2）若椭圆C的上顶点、右顶点分别为A、B，求证：∠F₁AB=90°．

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