在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,两球的球心距为13,若作一个平面与两个球都相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则椭圆的长轴长为______.

在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,两球的球心距为13,若作一个平面与两个球都相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则椭圆的长轴长为______.

题型:不详难度:来源:
在底面半径为6的圆柱内,有两个半径也为6的球面,两球的球心距为13,若作一个平面与两个球都相切,且与圆柱面相交成一椭圆,则椭圆的长轴长为______.
答案

魔方格
设两个球的球心分别为O1、O2,所得椭圆的长轴为AB,
直线AB与O1O2交于点E,设它们确定平面α,
作出平面α与两个球及圆柱的截面,如图所示
过A作O1O2的垂线,交圆柱的母线于点C,设AB切球O1的大圆于点D,连接O1D
∵Rt△O1DE中,O1E=
1
2
O1O2=
13
2
,O1D=6
∴cos∠DO1E=
O1D
O1E
=
12
13

∵锐角∠DO1E与∠BAC的两边对应互相垂直
∴∠BAC=∠DO1E,
得Rt△ABC中,cos∠BAC=
AC
AB
=
12
13

∵AC长等于球O1的直径,得AC=12
∴椭圆的长轴AB=13
故答案为:13
举一反三
已知P是椭圆上的一点,若P到椭圆右准线的距离是,则点P到左焦点的距离是(  )
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A.
B.C.D.
已知椭圆的对称轴为坐标轴,离心率e=
2
3
,短轴长为8


5
,求椭圆的方程.
椭圆2x2+3y2=12的两焦点之间的距离为(   )
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A.2B.C.2D.
在平面直角坐标系XOY中,点p(x,y)是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)上的一个动点,则bx+ay的最大值为 ______.
如图:在椭圆中有一内接矩形ABCD(四个顶点都在椭圆上),A点在第一象限内.当内接矩形ABCD的面积最大时,点A的坐标是(  )
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