已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率e=2,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;(1)求双曲线的标准方程;(2)求弦AB所在直线方程;(3)求直线AB与
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已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率e=2,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;(1)求双曲线的标准方程;(2)求弦AB所在直线方程;(3)求直线AB与
题型:不详
难度:
来源:
已知双曲线的焦点在y轴,实轴长为8,离心率
e=
2
,过双曲线的弦AB被点P(4,2)平分;
(1)求双曲线的标准方程;
(2)求弦AB所在直线方程;
(3)求直线AB与渐近线所围成三角形的面积.
答案
(1)∵双曲线的焦点在y轴,∴设双曲线的标准方程为
y
2
a
2
-
x
2
b
2
=1
;
∵实轴长为8,离心率
e=
2
,∴
a=4,c=4
2
,∴b
2
=c
2
-a
2
=16.
或∵实轴长为8,离心率
e=
2
,
∴双曲线为等轴双曲线,a=b=4.
∴双曲线的标准方程为
y
2
16
-
x
2
16
=1
.
(2)设弦AB所在直线方程为y-2=k(x-4),A,B的坐标为A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).
∴
k=
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
,
x
1
+
x
2
2
=4,
y
1
+
y
2
2
=2
;
∴
y
1
2
16
-
x
1
2
16
=1
y
2
2
16
-
x
2
2
16
=1
⇒
y
1
2
-
y
2
2
16
-
x
1
2
-
x
2
2
16
=0
⇒
(
y
1
-
y
2
)(
y
1
+
y
2
)
16
-
(
x
1
-
x
2
)(
x
1
+
x
2
)
16
=0
代入x
1
+x
2
=8,y
1
+y
2
=4,
得
(
y
1
-
y
2
)×4
16
-
(
x
1
-
x
2
)×8
16
=0
,
∴
y
1
-
y
2
x
1
-
x
2
×
1
4
-
1
2
=0
,
∴
1
4
k-
1
2
=0
,
∴k=2;
所以弦AB所在直线方程为y-2=2(x-4),即2x-y-6=0.
(3)等轴双曲线
y
2
16
-
x
2
16
=1
的渐近线方程为y=±x.
∴直线AB与渐近线所围成三角形为直角三角形.
又渐近线与弦AB所在直线的交点坐标分别为(6,6),(2,-2),
∴直角三角形两条直角边的长度分别为
6
2
、
2
2
;
∴直线AB与渐近线所围成三角形的面积
S=
1
2
×6
2
×2
2
=12
.
举一反三
已知双曲线的两渐近线方程为y=±
3
2
x,一个焦点坐标为(0,
-
26
),
(1)求此双曲线方程;
(2)写出双曲线的准线方程和准线间的距离.
题型:不详
难度:
|
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与椭圆
+y
2
=1
共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是( )
A.
-
y
2
=1
B.
-
y
2
=1
C.
-
=1
D.
x
2
-
=1
题型:琼海一模
难度:
|
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已知双曲线的a=5,c=7,则该双曲线的标准方程为( )
A.
-
=1
B.
-
=1
C.
-
=1 或
-
=1
D.
-
=0或
-
=0
题型:不详
难度:
|
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已知方程(1+k)x
2
-(1-k)y
2
=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为( )
A.-1<k<1
B.k>1
C.k<-1
D.k>1或k<-1
题型:不详
难度:
|
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与双曲线
x
2
-
y
2
4
=1
有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程为______.
题型:不详
难度:
|
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