已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求实数a的取值范围.
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已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求实数a的取值范围. |
答案
设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1,y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设 直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在, 所以方程组有两组不同的实数解,即得方程ax2-x-(1+b)=0.① 判别式△=1+4a(1+b)>0.② 由①得x0==,y0=x0+b=+b. ∵M∈l,∴0=x0+y0=++b, 即b=-,代入②解得a>. 故实数a的取值范围(,+∞) |
举一反三
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A、B在抛物线上,且∠AFB=120°,弦AB中点M在准线l上的射影为M1,则的最大值为( )A. | B. | C. | D. | 过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1)P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,求|P1P2|的值. | 在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )A.(-2,-9) | B.(0,-5) | C.(2,-9) | D.(1,6) | 已知点M是抛物线y2=4x的一点,F为抛物线的焦点,A在圆C:(x-4)2+(y-1)2=1上,则|MA|+|MF|的最小值为______. | 已知直线l:y=kx+k+1,抛物线C:y2=4x,定点M(1,1). (I)当直线l经过抛物线焦点F时,求点M关于直线l的对称点N的坐标,并判断点N是否在抛物线C上; (II)当k(k≠0)变化且直线l与抛物线C有公共点时,设点P(a,1)关于直线l的对称点为Q(x0,y0),求x0关于k的函数关系式x0=f(k);若P与M重合时,求x0的取值范围. |
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