过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值.
题型:不详难度:来源:
过抛物线y2=4ax(a>0)的焦点F,作相互垂直的两条焦点弦AB和CD,求|AB|+|CD|的最小值. |
答案
抛物线的焦点F坐标为(a,0),设直线AB方程为y=k(x-a), 则CD方程为y=-(x-a), 分别代入y2=4x得:k2x2-(2ak2+4a)x+k2a2=0及x2-(2a+4a)x+=0, ∵|AB|=xA+xB+p=2a++2a,|CD|=xC+xD+p=2a+4ak2+2a, ∴|AB|+|CD|=8a++4ak2≥16a,当且仅当k2=1时取等号, 所以,|AB|+|CD|的最小值为16a. |
举一反三
如果过两点A(a,0)和B(0,a)的直线与抛物线y=x2-2x-3没有交点,那么实数a的取值范围是______. |
已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点,试求实数a的取值范围. |
抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A、B在抛物线上,且∠AFB=120°,弦AB中点M在准线l上的射影为M1,则的最大值为( )A. | B. | C. | D. | 过抛物线x2=4y的焦点F作直线交抛物线于P1(x1,y1)P2(x2,y2)两点,若y1+y2=6,求|P1P2|的值. | 在抛物线y=x2+ax-5(a≠0)上取横坐标为x1=-4,x2=2的两点,经过两点引一条割线,有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆5x2+5y2=36相切,则抛物线顶点的坐标为( )A.(-2,-9) | B.(0,-5) | C.(2,-9) | D.(1,6) |
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