过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________.
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过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的长为8,则p=________. |
答案
2 |
解析
设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且倾斜角为45°的直线方程为y=x-,把y=x-代入y2=2px,得x2-3px+p2=0,∴x1+x2=3p,∵|AB|=x1+x2+p=4p=8,∴p=2. |
举一反三
如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py(p>0)上.
(1)求抛物线E的方程; (2)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q,证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. |
若点P到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1,则点P的轨迹为( ) |
设F(1,0),M点在x轴上,P点在y轴上,且=2,⊥,当点P在y轴上运动时,点N的轨迹方程为( )A.y2=2x | B.y2=4x | C.y2=x | D.y2=x |
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已知点C(1,0),点A、B是⊙O:x2+y2=9上任意两个不同的点,且满足·=0,设P为弦AB的中点.
(1)求点P的轨迹T的方程; (2)试探究在轨迹T上是否存在这样的点:它到直线x=-1的距离恰好等于到点C的距离?若存在,求出这样的点的坐标;若不存在,说明理由.
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设M、N为抛物线C:y=x2上的两个动点,过M、N分别作抛物线C的切线l1、l2,与x轴分别交于A、B两点,且l1与l2相交于点P,若|AB|=1.
(1)求点P的轨迹方程; (2)求证:△MNP的面积为一个定值,并求出这个定值. |
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