动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x2＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．

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动直线l的倾斜角为60°，且与抛物线x²＝2py(p>0)交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．

答案

x²＝

解析

设直线l的方程为y＝

x＋b，联立

，消去y，得x²＝2p(

x＋b)，即x²－2

px－2pb＝0，∴x₁＋x₂＝2

p＝3，∴p＝

，则抛物线的方程为x²＝

y．

举一反三

已知顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴的抛物线上有一点A(

，m)，A点到抛物线焦点的距离为1．
(1)求该抛物线的方程；
(2)设M(x₀，y₀)为抛物线上的一个定点，过M作抛物线的两条互相垂直的弦MP，MQ，求证：PQ恒过定点(x₀＋2，－y₀)．

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如图，F为抛物线y²＝4x的焦点，A，B，C在抛物线上，若

＋

＝0，则|

|＋|

|＝(　　)

A．6

B．4

C．3

D．2

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已知直线l₁：4x－3y＋11＝0和直线l₂：x＝－1，抛物线y²＝4x上一动点P到直线l₁和直线l₂的距离之和的最小值是(　　)

A．2

B．3

C．

D．

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过抛物线y²＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________．

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如图，等边三角形OAB的边长为8

，且其三个顶点均在抛物线E：x²＝2py(p>0)上．

(1)求抛物线E的方程；
(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y＝－1相交于点Q，证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点．

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