过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;(2)过点M作

过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;(2)过点M作

题型:不详难度:来源:
过抛物线C:上的点M分别向C的准线和x轴作垂线,两条垂线及C的准线和x轴围成边长为4的正方形,点M在第一象限.
(1)求抛物线C的方程及点M的坐标;
(2)过点M作倾斜角互补的两条直线分别与抛物线C交于A,B两点,如果点M在直线AB的上方,求面积的最大值.
答案
(1)y2=8x,(2,4);(2).
解析

试题分析:本题主要考查抛物线的标准方程及其几何性质、韦达定理、点到直线的距离、三角形面积公式、利用导数求函数的最值等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,由题意结合抛物线图象得到M点坐标,代入抛物线方程中,解出P的值,从而得到抛物线的标准方程及M点坐标;第二问,设出A,B点坐标,利用M点,分别得到直线MA和直线MB的斜率,因为两直线倾斜角互补,所以两直线的斜率相加为0,整理得到y1+y2=-8,代入到中得到直线AB的斜率,设出直线AB的方程,利用M点在直线AB上方得到b的范围,令直线与抛物线方程联立,图形有2个交点,所以方程的进一步缩小b的范围,,而用两点间距离公式转化,d是M到直线AB的距离,再利用导数求面积的最大值.
(1)抛物线C的准线x=-,依题意M(4-,4),
则42=2p(4-),解得p=4.
故抛物线C的方程为y2=8x,点M的坐标为(2,4),    3分
(2)设
直线MA的斜率,同理直线MB的斜率
由题设有,整理得y1+y2=-8.
直线AB的斜率.      6分
设直线AB的方程为y=-x+b.
由点M在直线AB的上方得4>-2+b,则b<6.
得y2+8y-8b=0.
由Δ=64+32b>0,得b>-2.于是-2<b<6.    9分

于是
点M到直线AB的距离,则△MAB的面积

设f(b)=(b+2)(6-b)2,则f¢(b)=(6-b)(2-3b).
时,f¢(x)>0;当时,f¢(x)<0.
时,f(b)最大,从而S取得最大值.    12分
举一反三
(本题满分12分)
已知顶点在坐标原点,焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为,求抛物线的方程。
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如图,某旅游区拟在公路(南北向)旁开发一个抛物线形的人工湖,湖沿岸上每一点到公路的距离与到处的距离相等,并在湖中建造一个三角形的游乐区,三个顶点都在湖沿岸上,直线通道经过处.经测算,在公路正东方向米处,的正西方向米处,现以点为坐标原点,以线段所在直线为轴建立平面直角坐标系,
(1)求抛物线的方程
(2)试确定直线通道的位置,使得三角形游乐区的面积最小,并求出最小值
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已知圆P:x2+y2=4y及抛物线S:x2=8y,过圆心P作直线l,此直线与上述两曲线的四个交点,自左向右顺次记为A,B,C,D,如果线段AB,BC,CD的长按此顺序构成一个等差数列,则直线l的斜率为(    )
A.B.C.D.

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若直线与抛物线相交于两点,且两点在抛物线的准线上的射影分别是,若,则的值是           
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抛物线的准线方程是y=2,则实数a的值为(    ).
A.8B.-8C.D.

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