解:(1)当的坐标为时,设过点的切线方程为,代入,整理得, 令,解得, 代入方程得,故得, .................2分 因为到的中点的距离为, 从而过三点的圆的方程为. 易知此圆与直线相切. ..................4分 (2)证法一:设切点分别为,,过抛物线上点的切线方程为,代入,整理得 ,又因为,所以................5分 从而过抛物线上点的切线方程为即 又切线过点,所以得 ① 即 同理可得过点的切线为, 又切线过点,所以得 ② 即.................6分 即点,均满足即,故直线的方程为 .................7分 又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 ..................8分 证法二:设过的抛物线的切线方程为,代入,消去,得 即:.................5分 从而,此时, 所以切点的坐标分别为,.................6分 因为,, , 所以的中点坐标为 故直线的方程为,即...............7分 又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 ..................8分 证法三:由已知得,求导得,切点分别为,,故过点的切线斜率为,从而切线方程为即 又切线过点,所以得 ① 即 同理可得过点的切线为, 又切线过点,所以得 ② 即.................6分 即点,均满足即,故直线的方程为 .................7分 又为直线上任意一点,故对任意成立,所以,从而直线恒过定点 ..................8分 (3)解法一:由(2)中①②两式知是方程的两实根,故有
(*) 将,,代入上(*)式得 ∴ , .................9分 ①当时,,直线上任意一点均有,为直角三角形; .................10分 ②当时,,,不可能为直角三角形; .................11分 ③当时,,. 因为,, 所以 若,则,整理得, 又因为,所以, 因为方程有解的充要条件是. 所以当时,有或,为直角三角形..............13分 综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当时,直线上存在两点,使为直角三角形;当或时,不是直角三角形. .................14分 解法二:由(2)知,且是方程的两实根,即,从而, 所以 当时,即时,直线上任意一点均有,为直角三角形; .................10分 当时,即时,与不垂直。 因为,, 所以 若,则,整理得, 又因为,所以, 因为方程有解的充要条件是. 所以当时,有或,为直角三角形..............13分 综上所述,当时,直线上任意一点,使为直角三角形,当时,直线上存在两点,使为直角三角形;当或时,不是直角三角形. .................14分 |