AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M离x轴的最近距离.
题型:不详难度:来源:
AB为抛物线y=x2上的动弦,且|AB|=a(a为常数且a≥1),求弦AB的中点M离x轴的最近距离. |
答案
最近距离为(2a-1). |
解析
如图所示,设A、M、B点的纵坐标分别为y1、y2、y3,A、M、B三点在抛物线上的射影分别为A′、M′、B′.由抛物线的定义, |AF|=|AA′|=y1+, |BF|=|BB′|=y3+, ∴y1=|AF|-,y3=|BF|-.
又M是线段AB的中点,∴y2=(y1+y3)=(|AF|+|BF|-)≥×(|AB|-)=(2a-1), 等号成立的条件是A、F、B三点共线,即AB为焦点弦. ∴最近距离为(2a-1). |
举一反三
已知双曲线中心在原点,离心率为,若它的一条准线与抛物线y2=4x的准线重合,则该双曲线与抛物线交点到原点的距离是( ) |
已知AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,若|AB|=m,则AB中点的横坐标为_____________. |
已知抛物线y2=2px(p>0)过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|≤2p. (1)求实数a的取值范围; (2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求△NAB面积的最大值. |
过抛物线y2=2px(p>0)上一定点P(x0,y0)(y0>0)作两条直线分别交抛物线于A(x1,y1)、B(x2,y2). (1)求该抛物线上纵坐标为的点到其焦点F的距离; (2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数. |
若A(x1,y1)、B(x2,y2)是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦的端点,则x1x2和y1y2都为定值,且x1x2=_________,y1y2=____________. |
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