依题意,关于x的方程 x3+ax2+bx+c=0有一个根是1 所以可设x3+ax2+bx+c=0=(x-1)(x2+mx+n) 根据多项式恒等的充要条件,得 m-1=a① n-m=b② n+c=0③ 取①②两式联立得 m=a+1,n=a+b+1 构造函数 f(x)=x2+mx+n 即 f(x)=x2+(a+1)x+(a+b+1) 依题意f(x)=0的两个根x1,x2分别作为椭圆和双曲线的离心率 故 0<x1<1<x2 根据一元二次方程根的分布,可得关于实系数a,b的约束条件: 判别式=(a+1)2-4(a+b+1)=(a-1)2-4b-4>0 f(0)=a+b+1>0,f(1)=2a+b+3<0 令a为横轴,b为纵轴,建立平面直角坐标系,作出这三个不等式所对应的平面区域S, 设P(a,b)是平面区域S内的任意一点,A(-1,1),k= 则k的几何意义是直线PA的斜率. 作图,得-2<k<0 故答案为(-2,0) |