已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8.(I)求抛物线C方程;(II)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线
题型:合肥二模难度:来源:
已知抛物线C:y2=2px的焦点为F,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的横坐标为8. (I)求抛物线C方程; (II)不过原点的直线l2与l1垂直,且与抛物线交于不同的两点A、B,若线段AB的中点 为P,且|OP|=|PB|,求△FAB的面积. |
答案
(I)由题意,抛物线C与直线l1:y=-x的一个交点的坐标为(8,-8), 代入抛物线方程可得64=2p×8,∴2p=8, ∴抛物线C方程为y2=8x; (II)∵不过原点的直线l2与l1垂直,∴可设l2的方程为x=y+m, 设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l2与x轴交点为M 直线方程代入抛物线方程,可得y2-8y-8m=0 △=64+32m>0,∴m>-2 由韦达定理得y1+y2=-8,y1y2=-8m,∴x1x2=m2, 由题意,OA⊥OB,即x1x2+y1y2=m2-8m=0 ∴m=8或m=0(舍去) ∴l2的方程为x=y+8,M(8,0) ∴S△FAB=|FM||y1-y2|=3=24. |
举一反三
设直线l的斜率为2且过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F,又与y轴交于点A,O为坐标原点,若△OAF的面积为4,则抛物线的方程为( )A.y2=4x | B.y2=8x | C.y2=±4x | D.y2=±8x |
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抛物线y2=2x的准线方程是______;该抛物线的焦点为F,点M(x0,y0)在此抛物线上,且|MF|=,则x0=______. |
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A,直线l与抛物线的准线的交点为B,点A在抛物线的准线上的射影为C,若=,•=36,则抛物线的方程为( )A.y2=6x | B.y2=3x | C.y2=12x | D.y2=2x |
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P为抛物线y2=4x上任意一点,P在y轴上的射影为Q,点M(4,5),则PQ与PM长度之和的最小值为:______. |
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