已知椭圆:经过点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点,求面积的最大值.

已知椭圆:经过点,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆于两点,求面积的最大值.

题型:不详难度:来源:
已知椭圆经过点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右焦点分别为,过点的直线交椭圆两点,求面积的最大值.
答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
解析

试题分析:(Ⅰ)将两点坐标代入椭圆方程组成方程组,即可求的值。(Ⅱ)由椭圆方程可知。可分直线斜率存在和不存在两种情况讨论,为了省去讨论也可直接设直线方程为。与椭圆联立方程,消去整理可得关于的一元二次方程,因为有两个交点即方程有两根,所以判别式应大于0。然后用韦达定理得根与系数的关系。求面积时可先求截得的弦长,再求点到直线的距离,从而可求面积(此种方法计算量过大)。另一方法求面积:可用转化思想将分解成两个小三角形,即。因为,可转化为二次函数求最值问题。
试题解析:解:(Ⅰ)由题意,椭圆的方程为.    1分
将点代入椭圆方程,得,解得.
所以 椭圆的方程为.                          3分
(Ⅱ)由题意可设直线的方程为:.
.
显然 .
,则               7分
因为 的面积,其中.
所以 .

.                                         9分
.
时,上式中等号成立.
即当时,的面积取到最大值.                 11分
举一反三
曲线是平面内与定点和定直线的距离的积等于的点的轨迹.给出下列四个结论:
①曲线过坐标原点;
②曲线关于轴对称;
③曲线轴有个交点;
④若点在曲线上,则的最小值为.
其中,所有正确结论的序号是___________.
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在平面直角坐标系中,已知点,动点轴上的正射影为点,且满足直线.
(Ⅰ)求动点M的轨迹C的方程;
(Ⅱ)当时,求直线的方程.
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已知椭圆,直线交椭圆两点.
(Ⅰ)求椭圆的焦点坐标及长轴长;
(Ⅱ)求以线段为直径的圆的方程.
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已知椭圆经过如下五个点中的三个点:.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点为椭圆的左顶点,为椭圆上不同于点的两点,若原点在的外部,且为直角三角形,求面积的最大值.
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在平面直角坐标系中,已知点,点在直线上运动,过点垂直的直线和线段的垂直平分线相交于点
(1)求动点的轨迹的方程;
(2)过(1)中的轨迹上的定点作两条直线分别与轨迹相交于两点.试探究:当直线的斜率存在且倾斜角互补时,直线的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
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