已知椭圆:经过如下五个点中的三个点:,,,,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点为椭圆的左顶点,为椭圆上不同于点的两点,若原点在的外部,且为直角三角形,求面积的最大
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已知椭圆:经过如下五个点中的三个点:,,,,.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设点为椭圆的左顶点,为椭圆上不同于点的两点,若原点在的外部,且为直角三角形,求面积的最大
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆
:
经过如下五个点中的三个点:
,
,
,
,
.
(Ⅰ)求椭圆
的方程;
(Ⅱ)设点
为椭圆
的左顶点,
为椭圆
上不同于点
的两点,若原点在
的外部,且
为直角三角形,求
面积的最大值.
答案
(Ⅰ)
;(Ⅱ)
解析
试题分析:(Ⅰ)因为
和
关于原点对称,由椭圆的对称性可知
和
在椭圆上。因为
在椭圆上则
和
不在椭圆上。所以
在椭圆上。解方程组可得
的值。(Ⅱ)需讨论哪个角为直角只讨论
和
即可,因为点
的位置没有固定,
和
的情况相同。如当
时,设直线
,联立方程消去消去
得关于
的一元二次方程,由韦达定理得根与系数的关系。根据
,则直线垂直其斜率相乘等于
,列式计算可得
,
则说明原点在
的外部,符合条件,否则不符合条件舍掉。在求
面积时若采用先求弦
再求点
到
的距离最后求面积的方法计算过于繁琐,所以求
的面积时可用分割法,计算较简单。
试题解析:解:(Ⅰ)由
知,
和
不在椭圆
上,即椭圆
经过
,
,
.
于是
.
所以 椭圆
的方程为:
. 2分
(Ⅱ)①当
时,设直线
,由
得
.设
,则
,
所以
.
于是
,此时
,所以 直线
.
因为
,故线段
与
轴相交于
,即原点在线段
的延长线上,即原点在
的外部,符合题设. 6分
所以
.
当
时取到最大值
. 9分
②当
时,不妨设
.
设直线
,由
得
.
所以
或
.
所以
,由
,可得直线
.
由
得
.
所以
.
所以线段
与
轴相交于
.
显然原点在线段
上,即原点在
的内部,不符合题设.
综上所述,所求的
面积的最大值为
. 12分
举一反三
在平面直角坐标系中,已知点
,点
在直线
:
上运动,过点
与
垂直的直线和线段
的垂直平分线相交于点
.
(1)求动点
的轨迹
的方程;
(2)过(1)中的轨迹
上的定点
作两条直线分别与轨迹
相交于
,
两点.试探究:当直线
,
的斜率存在且倾斜角互补时,直线
的斜率是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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椭圆
内有一点
,过点
的弦恰好以
为中点,那么这条弦所在直线的斜率为
,直线方程为
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知顶点是坐标原点,对称轴是
轴的抛物线经过点
.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)直线
过定点
,斜率为
,当
为何值时,直线与抛物线有公共点?
题型:不详
难度:
|
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若双曲线
的渐近线与抛物线
的准线所围成的三角形面积为
,则该双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
设点
、
分别是椭圆
的左、右焦点,
为椭圆
上任意一点,且
的最小值为
.
(I)求椭圆
的方程;
(II)设直线
(直线
、
不重合),若
、
均与椭圆
相切,试探究在
轴上是否存在定点
,使点
到
、
的距离之积恒为1?若存在,请求出点
坐标;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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