已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.(1)求抛物线C的方程;(2)过点M作直线交抛物线C于A

已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.(1)求抛物线C的方程;(2)过点M作直线交抛物线C于A

题型:不详难度:来源:
已知抛物线C:,定点M(0,5),直线轴交于点F,O为原点,若以OM为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
答案
(1)抛物线C的方程为;(2)详见解析.
解析

试题分析:(1)求抛物线C的方程,只需求出的值即可,由已知可知直线轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点,设交点为,则,故,即,解得,从而可得抛物线C的方程;(2),求证: 抛物线C分别过两点的切线的交点Q在一条定直线上运动,找出交点点的坐标即可,故需求出过两点的切线的方程,而有关,故可设出直线AB的方程为(斜率一定存在),再设出,,利用三点共线可得,再由导数的几何意义,求出斜率,得过点的切线方程为:,过点的切线方程为:,解出,结合,得,即得,从而得证。
试题解析:(1)直线轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交点,,
所以抛物线C的方程为
(2)由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为,
又设,
共线,,
,,同理可求
,过点的切线的斜率为,切线方程为:,
同理得过点的切线方程为:,联立得:

,即点Q在定直线上运动.
举一反三
已知椭圆C:的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点Q(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A、B两点,设点A关于x轴的
对称点为A1.求证:直线A1B过x轴上一定点,并求出此定点坐标.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且△的面积为
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆的左、右顶点分别为,过点的动直线与椭圆相交于两点,直线与直线的交点为,证明:点总在直线上.
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已知椭圆的左、右焦点分别为,椭圆上的点满足,且的面积
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)是否存在直线,使与椭圆交于不同的两点,且线段恰被直线平分?若存在,求出的斜率取值范围;若不存在,请说明理由.
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正方体中,为侧面所在平面上的一个动点,且到平面的距离是到直线距离的倍,则动点的轨迹为(   )
A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.圆

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过椭圆的左顶点的斜率为的直线交椭圆于另一个点,且点轴上的射影恰好为右焦点,若,则椭圆离心率的取值范围是_____________.
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