试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义可求得和,再根据,可求得。即可求出椭圆方程。(Ⅱ)由点斜式设出直线方程,然后联立,消掉(或)得到关于的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0,再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知且。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否,为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解, 注意讨论根的取舍。 试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为.依题意 ,所以. 又,所以. 于是椭圆的标准方程为. 5分 (Ⅱ)依题意,显然直线斜率存在.设直线的方程为,则 由得. 因为,得. ① 设,线段中点为,则 于是. 因为,线段中点为,所以. (1)当,即且时, ,整理得. ② 因为,, 所以 , 整理得,解得或. 当时,由②不合题意舍去. 由①②知,时,. (2)当时, (ⅰ)若时,直线的方程为,代入椭圆方程中得. 设,,依题意,若△为等腰直角三角形,则 .即,解得或.不合题意舍去, 即此时直线的方程为. (ⅱ)若且时,即直线过原点.依椭圆的对称性有,则依题意不能有,即此时不满足△为等腰直角三角形. 综上,直线的方程为或或. 14分 |