(1)已知定点、,动点N满足(O为坐标原点),,,,求点P的轨迹方程.(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,(ⅰ)
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(1)已知定点、,动点N满足(O为坐标原点),,,,求点P的轨迹方程.(2)如图,已知椭圆的上、下顶点分别为,点在椭圆上,且异于点,直线与直线分别交于点,(ⅰ)
题型:不详
难度:
来源:
(1)已知定点
、
,动点N满足
(O为坐标原点),
,
,
,求点P的轨迹方程.
(2)如图,已知椭圆
的上、下顶点分别为
,点
在椭圆上,且异于点
,直线
与直线
分别交于点
,
(ⅰ)设直线
的斜率分别为
、
,求证:
为定值;
(ⅱ)当点
运动时,以
为直径的圆是否经过定点?请证明你的结论.
答案
(1)
;(2)(ⅰ)
;(ⅱ)定点
或
.
解析
试题分析:(Ⅰ)由题意,先确定点N是MF
1
中点,然后由
确定|PM|=|PF
1
|,从而得到|∣PF
1
|-|PF
2
∣|=||PM|-|PF
2
||=|MF
2
|=2<|F
1
F
2
|,再根据双曲线的几何性质,即可得到点P的轨迹方程;(2)(ⅰ)设出点
,由斜率公式得到
的表达式,再根据点
在椭圆上,得到其为定值;(ⅱ)将以
为直径的圆上任一点坐标设出,即设点
,再根据过直径的弦所对的圆周角为直角这一几何性质得到
,从而得到点
的轨迹方程也即以
为直径的圆的方程为
.因为
的系数有参数
,故
,从而得到圆上定点
或
.即得到所求.
试题解析:(Ⅰ)连接ON∵
∴点N是MF
1
中点 ∴|MF
2
|=2|NO|=2
∵
∴F
1
M⊥PN ∴|PM|=|PF
1
|
∴|∣PF
1
|-|PF
2
∣|=||PM|-|PF
2
||=|MF
2
|=2<|F
1
F
2
|
由双曲线的定义可知:点P的轨迹是以F
1
,F
2
为焦点的双曲线.
点P的轨迹方程是
4分
(ⅰ)
,
,令
,则由题设可知
,
直线
的斜率
,
的斜率
,又点
在椭圆上,所以
,(
),从而有
.8分
(ⅱ)设点
是以
为直径的圆上任意一点,则
,又易求得
、
.所以
、
.故有
.又
,化简后得到以
为直径的圆的方程为
.
令
,解得
或
.
所以以
为直径的圆恒过定点
或
.
举一反三
已知曲线
上任意一点
到直线
的距离是它到点
距离的
倍;曲线
是以原点为顶点,
为焦点的抛物线.
(Ⅰ)求
,
的方程;
(Ⅱ)过
作两条互相垂直的直线
,其中
与
相交于点
,
与
相交于点
,求四边形
面积的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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)如图,椭圆
:
,
、
、
、
为椭圆
的顶点
(Ⅰ)若椭圆
上的点
到焦点距离的最大值为
,最小值为
,求椭圆方程;
(Ⅱ)已知:直线
相交于
,
两点(
不是椭圆的左右顶点),并满足
试研究:直线
是否过定点? 若过定点,请求出定点坐标,若不过定点,请说明理由
题型:不详
难度:
|
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已知O为坐标原点,P是曲线
:
上到直线
:
距离最小的点,且直线OP是双曲线
:
的一条渐近线。则
与
的公共点个数是( )
A.2
B.1
C.0
D.不能确定,与
、
的值有关
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的左、右焦点分别是
、
,
是椭圆右准线上的一点,线段
的垂直平分线过点
.又直线
:
按向量
平移后的直线是
,直线
:
按向量
平移后的直线是
(其中
)。
(1) 求椭圆的离心率
的取值范围。
(2)当离心率
最小且
时,求椭圆的方程。
(3)若直线
与
相交于(2)中所求得的椭圆内的一点
,且
与这个椭圆交于
、
两点,
与这个椭圆交于
、
两点。求四边形ABCD面积
的取值范围。
题型:不详
难度:
|
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设AB是椭圆的长轴,点C在椭圆上,且
,若AB=4,
,则椭圆的两个焦点之间的距离为________.
题型:不详
难度:
|
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