试题分析:(Ⅰ)直线与圆相切,则圆心到直线的距离等于半径.设圆的圆心为半径分别为,直线的方程为.若直线与圆相切,则圆心到直线的距离,将已知条件代入这个公式,即可得的值. (Ⅱ)将代入得:得关于的二次方程.设则是这个方程的两个根.因为,所以,再结合韦达定理,可得一个含的等式,与联立解方程组即可求得的值. (Ⅲ)思路一、在(Ⅱ)的条件下,椭圆的方程为:,动点,则将其代入椭圆方程,便得:①.设,,则.两式相乘再利用①式可消去得,再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值. 思路二、选定一个量作为变量,其余的量都用这个量来表示,最终用这个量表示出线段MN的长度. 那么选哪 一个量作为变量呢?显然直线AS的斜率存在,设为且,然后用表示出点的坐标,从而表示出线段MN的长度.再用重要不等式便可得线段MN的长度的最小值. 试题解析:(Ⅰ)直线与圆相切,所以 4分 (Ⅱ) 将代入得: 得: ① 设则 ② 因为 由已知代人② 所以椭圆的方程为 8分 (Ⅲ)法一、在(Ⅱ)的条件下,椭圆的方程为:,将动点的坐标代入椭圆方程,便得: ① 设,,则.两式相乘得 ② 由①得:,代入②得:,显然异号. 所以线段MN的长度,当时取等号. 法二、显然直线AS的斜率存在,设为且则 依题意,由得: 设则即 ,又B(2,0)所以 BS: 由 所以时: 12分 |