已知抛物线:.过点的直线交于两点.抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.(Ⅰ)若直线的斜率为1,求;(Ⅱ)求面积的最小值.
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已知抛物线:.过点的直线交于两点.抛物线在点处的切线与在点处的切线交于点.(Ⅰ)若直线的斜率为1,求;(Ⅱ)求面积的最小值.
题型:不详
难度:
来源:
已知抛物线
:
.过点
的直线
交
于
两点.抛物线
在点
处的切线与在点
处的切线交于点
.
(Ⅰ)若直线
的斜率为1,求
;
(Ⅱ)求
面积的最小值.
答案
(1)
;(2)最小值为2.
解析
试题分析:本题主要考查直线与抛物线的位置关系、三角形面积公式等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法和运算求解能力.第一问,由已知得出直线l的方程,与抛物线联立,得出
两点的坐标,然后利用两点间距离公式求
;第二问,由于直线l的斜率不知道,所以设出直线方程,设出点
的坐标,联立直线与抛物线方程,得出两根之和,两根之积,设出在点
处的切线方程,求出交点
的坐标,利用点到直线的距离公式求出
的高,再求
,代入到三角形面积公式中,再把两根之和,两根之积代入得到关于
的表达式,利用配方法求最值.
试题解析:(Ⅰ)由题意知,直线
的方程为
,由
消去
解得
,
.
所以
. 6分
(Ⅱ)设直线l的方程为
,设点
,
.
由
消去
整理得
,
知
,
,
又因为
,所以,抛物线
在点
处的切线方程分别为
,
.
得两切线的交点
.所以点
到直线
的距离为
.
又因为
.
设
的面积为
,所以
(当
时取到等号).
所以
面积的最小值为2. 14分
举一反三
已知圆
直线
与圆
相切,且交椭圆
于
两点,
是椭圆的半焦距,
,
(Ⅰ)求
的值;
(Ⅱ)O为坐标原点,若
求椭圆
的方程;
(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下,设椭圆
的左右顶点分别为A,B,动点
,直线AS,BS与直线
分别交于M,N两点,求线段MN的长度的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)当点
为直线
上的定点时,求直线
的方程;
(Ⅲ)当点
在直线
上移动时,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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已知F
1
、F
2
分别是双曲线
的左、右焦点,P为双曲线右支上的任意一点且
,则双曲线离心率的取值范围是( )
A.(1,2]
B.[2 +
)
C.(1,3]
D.[3,+
)
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
的顶点为原点,其焦点
到直线
的距离为
.设
为直线
上的点,过点
作抛物线
的两条切线
,其中
为切点.
(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)设点
为直线
上的点,求直线
的方程;
(Ⅲ) 当点
在直线
上移动时,求
的最小值.
题型:不详
难度:
|
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椭圆以坐标轴为对称轴,且经过点
、
.记其上顶点为
,右顶点为
.
(1)求圆心在线段
上,且与坐标轴相切于椭圆焦点的圆的方程;
(2)在椭圆位于第一象限的弧
上求一点
,使
的面积最大.
题型:不详
难度:
|
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