试题分析: 思路分析:(1)紧扣“C1-C2型点”的定义,确定C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; (2)通过研究直线与C2有交点的条件,分别得到和 ,不可能同时成立,得到结论:直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 根据直线与圆内部有交点,得到 化简得,............① 再根据直线与曲线C1有交点, 由方程组 化简得,.....② 由①②得, 但此时,因为,即①式不成立; 当时,①式也不成立 ,得出结论。 解:(1)C1的左焦点为,过F的直线与C1交于,与C2交于,故C1的左焦点为“C1-C2型点”,且直线可以为; (2)直线与C2有交点, 则,若方程组有解,则必须; 直线与C2有交点,则 ,若方程组有解,则必须 故直线至多与曲线C1和C2中的一条有交点,即原点不是“C1-C2型点”. (3)显然过圆内一点的直线若与曲线C1有交点,则斜率必存在; 根据对称性,不妨设直线斜率存在且与曲线C2交于点,则 直线与圆内部有交点,故 化简得,............① 若直线与曲线C1有交点,则 化简得,.....② 由①②得, 但此时,因为,即①式不成立; 当时,①式也不成立 综上,直线若与圆内有交点,则不可能同时与曲线C1和C2有交点, 即圆内的点都不是“C1-C2型点”. 点评:难题,本题综合性较强,综合考查直线与圆、双曲线的位置关系以及不等式问题。从思路方面讲,要紧扣“C1-C2型点”的定义,研究方程组解的情况。 |