试题分析:(Ⅰ)设点M(x,y),由得P(0,),Q(). 由得(3,)·(,)=0,即 又点Q在x轴的正半轴上,故点M的轨迹C的方程是.……6分 (Ⅱ)解法一:由题意可知N为抛物线C:y2=4x的焦点,且A、B为过焦点N的直线与抛物线C的两个交点。 当直线AB斜率不存在时,得A(1,2),B(1,-2),|AB|,不合题意;……7分 当直线AB斜率存在且不为0时,设,代入 得 则|AB|,解得 ………………10分 代入原方程得,由于,所以, 由,得 . …………………12分 解法二:由题设条件得
由(6)、(7)解得或,又,故 点评:求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题之一。本题主要考查利用“相关点法”求曲线的轨迹方程。相关点法:用动点Q的坐标x,y表示相关点P的坐标x0、y0,然后代入点P的坐标(x0,y0)所满足的曲线方程,整理化简便得到动点Q轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做相关点法. |