试题分析:(Ⅰ)设,, 由勾股定理可得: 得:,, 由倍角公式,解得,则离心率. (Ⅱ)过直线方程为,与双曲线方程联立 将,代入, 化简有
将数值代入,有,解得 故所求的双曲线方程为. 解法二:解:(Ⅰ)设双曲线方程为(a>0,b>0),右焦点为F(c,0)(c>0),则c2=a2+b2 不妨设l1:bx-ay=0,l2:bx+ay=0
则 ,
因为2+2=2,且=2-, 所以2+2=(2-)2, 于是得tan∠AOB=。 又与同向,故∠AOF=∠AOB, 所以 解得 tan∠AOF=,或tan∠AOF=-2(舍去)。 因此 所以双曲线的离心率e== (Ⅱ)由a=2b知,双曲线的方程可化为 x2-4y2=4b2 ① 由l1的斜率为,c=b知,直线AB的方程为 y=-2(x-b) ② 将②代入①并化简,得 15x2-32bx+84b2=0 设AB与双曲线的两交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 x1+x2=,x1·x2= ③ AB被双曲线所截得的线段长 l= ④ 将③代入④,并化简得l=,而由已知l=4,故b=3,a=6 所以双曲线的方程为 点评:中档题,涉及直线与圆锥曲线的位置关系问题,往往要利用韦达定理。弦长问题,往往利用弦长公式,通过整体代换,简化解题过程。 |