(本小题满分13分)已知点为抛物线: 的焦点,为抛物线上的点,且.(Ⅰ)求抛物线的方程和点的坐标;(Ⅱ)过点引出斜率分别为的两直线,与抛物线的另一交点为,与抛物
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(本小题满分13分)已知点为抛物线: 的焦点,为抛物线上的点,且.(Ⅰ)求抛物线的方程和点的坐标;(Ⅱ)过点引出斜率分别为的两直线,与抛物线的另一交点为,与抛物
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分13分)
已知点
为抛物线
:
的焦点,
为抛物线
上的点,且
.
(Ⅰ)求抛物线
的方程和点
的坐标;
(Ⅱ)过点
引出斜率分别为
的两直线
,
与抛物线
的另一交点为
,
与抛物线
的另一交点为
,记直线
的斜率为
.
(ⅰ)若
,试求
的值;
(ⅱ)证明:
为定值.
答案
(1)
(2)
,在第一问的基础上,分析得到三个斜率的关系式,然后化简变形得到证明。
解析
试题分析:解:(Ⅰ)∵
,∴
∴抛物线
:
.
又
在抛物线
上,
∴
.∴
.
(Ⅱ)(ⅰ)设直线
,
∵
与抛物线
交于
、
两点,∴
.
由
得:
,
设
,则
,
∴
,即
.
同理可得
.
,
.
∴
.
(ⅱ)证明:由(ⅰ)可知
,
,即证得
为定值.……13分
点评:本题主要通过研究抛物线的标准方程、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归转化思想等
举一反三
(本小题满分12分)
如图,抛物线
的顶点为坐标原点
,焦点
在
轴上,准线
与圆
相切.
(Ⅰ)求抛物线
的方程;
(Ⅱ)若点
在抛物线
上,且
,求点
的坐标.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
的右焦点为
,
点在椭圆上,以
点为圆心的圆与
轴相切,且同时与
轴相切于椭圆的右焦点
,则椭圆
的离心率为
.
题型:不详
难度:
|
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若关于
的方程
的三个根可分别作为一个椭圆、双曲线、抛物线的离心率,则
的取值范围为
.
题型:不详
难度:
|
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已知直线
经过椭圆
的焦点并且与椭圆相交于
,
两点,线段
的垂直平分线与
轴相交于点
,则
面积的最大值为
.
题型:不详
难度:
|
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(本题满分15分)
在平面内,已知椭圆
的两个焦点为
,椭圆的离心率为
,
点是椭圆上任意一点, 且
,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)以椭圆的上顶点
为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形
,这样的等腰直角三角形是否存在?若存在请说明有几个、并求出直角边所在直线方程?若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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