在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,

在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.(Ⅰ)求直线与交点的轨迹的方程;(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,

题型:不详难度:来源:
在直角坐标系上取两个定点,再取两个动点,且.
(Ⅰ)求直线交点的轨迹的方程;
(Ⅱ)已知点()是轨迹上的定点,是轨迹上的两个动点,如果直线的斜率与直线的斜率满足,试探究直线的斜率是否是定值?若是定值,求出这个定值,若不是,说明理由.
答案
解:(Ⅰ)轨迹M的方程为
(Ⅱ)直线EF的斜率为定值,其值为
解析
本试题主要考查了直线与直线的位置关系,以及直线与椭圆的位置关系的综合运用。(1) 依题意知直线的方程为:,直线的方程为:,利用交轨法得到轨迹方程的求解。
(2)设出直线方程与椭圆方程联立,运用韦达定理,和斜率公示得到结论。
(Ⅰ)依题意知直线的方程为:     ①……………2分
直线的方程为:       ②…………………3分
是直线交点,①×②得
  整理得            …………………4分
不与原点重合 ∴点不在轨迹M上…………………5分
∴轨迹M的方程为)…………………6分
(Ⅱ)∵点()在轨迹M上 ∴解得,即点A的坐标为
,则直线AE方程为:,代入并整理得
…………………9分
,,  ∵点在轨迹M上,
   ③,      ④………………11分
,将③、④式中的代换成,可得
…………………………12分
∴直线EF的斜率…………………13分


即直线EF的斜率为定值,其值为
举一反三
如图,在ABC中,C=90°,AC="b," BC="a," P为三角形内的一点,且
(Ⅰ)建立适当的坐标系求出P的坐标;
(Ⅱ)求证:│PA│2+│PB│2=5│PC│
(Ⅲ)若a+2b=2,求以PA,PB,PC分别为直径的三个圆的面积之和的最小值,并求出此时的b值.
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是曲线上的一个动点,曲线在点处的切线与轴、轴分别交于两点,点是坐标原点. 给出三个命题:①;②的周长有最小值;③曲线上存在两点,使得为等腰直角三角形.其中真命题的个数是
A.1B.2  C.3 D.0

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椭圆与直线交于两点,过原点与线段中点的直线的斜率为,则的值为                  (    )
A.B.  C.D.

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抛物线与直线交于两点,其中点的坐标是,设抛物线的焦点为,则等于         (    )
A.B.  C.D.

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已知点为抛物线的焦点,为原点,点是抛物线准线上一动点,点在抛物线上,且,则的最小值为  ( )
A.6B.C.D.

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