已知椭圆的左、右焦点分别为,, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,,且,证

已知椭圆的左、右焦点分别为,, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)过点分别作直线,交椭圆于,两点,设两直线的斜率分别为,,且,证

题型:不详难度:来源:
已知椭圆的左、右焦点分别为, 点是椭圆的一个顶点,△是等腰直角三角形.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过点分别作直线交椭圆于两点,设两直线的斜率分别为,且,证明:直线过定点().
答案
(Ⅰ)由已知可得
所求椭圆方程为.          ……4分
(Ⅱ)若直线的斜率存在,设方程为,依题意

 得 . ……6分
. 由已知
所以,即. ……8分
所以,整理得
故直线的方程为,即
所以直线过定点().       ………10分
若直线的斜率不存在,设方程为
,由已知
.此时方程为,显然过点().
综上,直线过定点().
解析

举一反三
在正四面体P-ABC中,M为ABC内(含边界)一动点,且到三个侧面PAB,PBC,PCA的距离成等差数列,则点M的轨迹是(  )
A.一条线段B.椭圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分

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已知m∈R,直线l:mx-(m2+1)y=4m和圆C:x2+y2-8x+4y+16=0.
(1)求直线l斜率的取值范围;
(2)直线l能否将圆C分割成弧长的比值为的两段圆弧?为什么?
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已知椭圆的离心率为,过坐标原点且斜率为的直线
椭圆相交于
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若动圆与椭圆和直线都没有公共点,试求的取值范围.
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(本小题满分15分)
已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足:.
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型;
(2)当时,求的最大、最小值.
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给出下列三个命题:①若直线过抛物线的焦点,且与这条抛物线交于两点,则的最小值为;②双曲线的离心率为;③若,则这两圆恰有条公切线.④若直线与直线互相垂直,则
其中正确命题的序号是          .(把你认为正确命题的序号都填上)
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