解:(1)在曲线上任取一个动点P(x,y),则点(x,2y)在圆上.所以有.整理得曲线C的方程为. 它表示一个焦点在x轴上的椭圆. …………4分 (2)∵直线平行于OM,且在y轴上的截距为m,又, ∴直线的方程为. …………6分 由, …………7分 ∵直线与椭圆交于A、B两个不同点, …………8分 解得.∴m的取值范围是. …………10分 (3)设直线MA、MB的斜率分别为k1,k2,只需证明k1+k2=0即可. 设 ,可得.……12分
. k1+k2=0.故直线MA、MB与x轴始终围成一个等腰三角形. …………14分 |