(本小题满分14分)如图所示,椭圆C: 的两个焦点为、,短轴两个端点为、.已知、、 成等比数列,,与 轴不垂直的直线 与C 交于不同的两点、,记直线、的斜率分别

(本小题满分14分)如图所示,椭圆C: 的两个焦点为、,短轴两个端点为、.已知、、 成等比数列,,与 轴不垂直的直线 与C 交于不同的两点、,记直线、的斜率分别

题型:不详难度:来源:
(本小题满分14分)
如图所示,椭圆C 的两个焦点为,短轴两个端点为.已知 成等比数列,,与 轴不垂直的直线 与C 交于不同的两点,记直线的斜率分别为,且
(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)求证直线 与 轴相交于定点,并求出定点坐标;
(Ⅲ)当弦 的中点落在四边形 内(包括边界)时,求直线 的斜率的取值范围.
答案
(Ⅰ)
(Ⅱ)证明见解析。(0,2)
(Ⅲ) 或
解析
(Ⅰ)易知(其中),则由题意知有.又∵,联立得.∴
,∴.∴
故椭圆C的方程为.                                         4分
(Ⅱ)设直线的方程为坐标分别为

                                6分


将韦达定理代入,并整理得,解得
∴直线 与 轴相交于定点(0,2).                                   10分
(III)由(Ⅱ)中,其判别式,得.①
设弦的中点坐标为,则
点在轴上方,只需位于三角形内就可以,即满足
  将坐标代入,整理得 
解得 ②
由①②得所求范围为 或                        14分
举一反三
已知圆为圆上一动点,点上,点上,且满足的轨迹为曲线
(1)求曲线的方程;
(2)若直线与(1)中所求点的轨迹交于不同两点是坐
标原点,且,求△的面积的取值范围.
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选修4-1:几何证明选讲
△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于C,弦BD∥MN,AC、BD交于点E
(1)求证:△ABE≌△ACD
(2)AB=6,BC=4,求AE
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已知双曲线的焦点为,点在双曲线上且轴,则到直线的距离为                                                  (   )
A.B.C.D.

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(本题15分)如图,S(1,1)是抛物线为上的一点,弦SC,SD分别交轴于A,B两点,且SA=SB。
(I)求证:直线CD的斜率为定值;
(Ⅱ)延长DC交轴于点E,若,求的值。

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在△ABC中,A点的坐标为(3,0),BC边长为2,且BCy轴上的区间[-3,3]上滑动.
(1)求△ABC外心的轨迹方程;
(2)设直线ly=3xb与(1)的轨迹交于EF两点,原点到直线l的距离为d,求 的最大值.并求出此时b的值
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