已知过点(0,1)的直线l与曲线C:交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。

已知过点(0,1)的直线l与曲线C:交于两个不同点M和N。求曲线C在点M、N处切线的交点轨迹。

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已知过点(0,1)的直线l与曲线C交于两个不同点MN。求曲线C在点MN处切线的交点轨迹。
答案
P的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。
解析
设点MN的坐标分别为(x1y1)和(x2y2),曲线C在点MN处的切线分别为l1l2,其交点P的坐标为(xpyp)。若直线l的斜率为k,则l的方程为y=kx+1。
由方程组,消去y,得,即。由题意知,该方程在(0,+∞)上有两个相异的实根x1x2,故k≠1,且…(1),…(2),…(3),由此解得。对求导,得,则,于是直线l1的方程为
,化简后得到直线l1的方程为…(4)。同理可求得直线l2的方程为…(5)。(4)-(5)得,因为x1x2,故有…(6)。将(2)(3)两式代入(6)式得xp=2。(4)+(5)得…(7),其中,代入(7)式得,而xp=2,得。又由,即点P的轨迹为(2,2),(2,2.5)两点间的线段(不含端点)。
举一反三
设圆O1和圆O2是两个定圆,动圆P与这两个定圆都相切,则圆P的圆心轨迹不可能是(    )
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=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为(    )
A.=1
B.=1
C.=1
D.=1

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已知椭圆和双曲线有公共的焦点,(1)求双曲线的渐近线方程(2)直线过焦点且垂直于x轴,若直线与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为,求双曲线的方程
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已知抛物线()与椭圆=1有一个相同的焦点,则动点的轨迹是( )
A.椭圆的一部分B.双曲线的一部分
C.抛物线的一部分D.直线的一部分

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已知,试讨论当的值变化时,方程表示的曲线形状.
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