(本小题满分12分) 设不等式组表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点、
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(本小题满分12分) 设不等式组表示的平面区域为,区域内的动点到直线和直线的距离之积为2, 记点的轨迹为曲线. 是否存在过点的直线l, 使之与曲线交于相异两点、
题型:不详
难度:
来源:
(本小题满分12分) 设不等式组
表示的平面区域为
,区域
内的动点
到直线
和直线
的距离之积为2, 记点
的轨迹为曲线
. 是否存在过点
的直线
l
, 使之与曲线
交于相异两点
、
,且以线段
为直径的圆与
y
轴相切?若存在,求出直线
l
的斜率;若不存在, 说明理由.
答案
k
=-
解析
由题意可知,平面区域
如图阴影所示.设动点为
,则
,即
.
由
知
,
x
-
y
<0,即
x
2
-
y
2
<0.
所以
y
2
-
x
2
=4(
y
>0),即曲线
的方程为
-
=1(
y
>0)
设
,
,则以线段
为直径的圆的圆心为
.
因为以线段
为直径的圆
与
轴相切,所以半径
,即
因为直线
AB
过点
F
(2
,0),当
AB
^
x
轴时,不合题意.所以设直线
AB
的方程为
y
=
k
(
x
-2
).代入双曲线方程
-
=1(
y
>0)得:
k
2
(
x
-2
)
2
-
x
2
=4,即
(
k
2
-1)
x
2
-4
k
2
x
+(8
k
2
-4)=0.
因为直线与双曲线交于
A
,
B
两点,所以
k
≠±1.于是
x
1
+
x
2
=
,
x
1
x
2
=
.
故 |
AB
|=
=
=
=|
x
1
+
x
2
|=|
|,
化简得:
k
4
+2
k
2
-1=0
解得:
k
2
=
-1 (
k
2
=-
-1不合题意,舍去).
由△=(4
k
2
)
2
-4(
k
2
-1)(8
k
2
-4)=3
k
2
-1>0,又由于
y
>0,所以-1<
k
<-
.
所以,
k
=-
举一反三
已知过点(0,1)的直线
l
与曲线
C
:
交于两个不同点
M
和
N
。求曲线
C
在点
M
、
N
处切线的交点轨迹。
题型:不详
难度:
|
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设圆
O
1
和圆
O
2
是两个定圆,动圆
P
与这两个定圆都相切,则圆
P
的圆心轨迹不可能是( )
题型:不详
难度:
|
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以
=-1的焦点为顶点,顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.
=1
B.
=1
C.
=1
D.
=1
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆
和双曲线
有公共的焦点,(1)求双曲线的渐近线方程(2)直线
过焦点且垂直于x轴,若直线
与双曲线的渐近线围成的三角形的面积为
,求双曲线的方程
题型:不详
难度:
|
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已知抛物线
(
)与椭圆
=1有一个相同的焦点,则动点
的轨迹是( )
A.椭圆的一部分
B.
双曲线的一部分
C.抛物线的一部分
D.直线的一部分
题型:不详
难度:
|
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