已知,点满足,记点的轨迹为.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点. (i)设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,
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已知,点满足,记点的轨迹为.(Ⅰ)求轨迹的方程;(Ⅱ)若直线过点且与轨迹交于、两点. (i)设点,问:是否存在实数,使得直线绕点无论怎样转动,都有成立?若存在,
题型:不详
难度:
来源:
已知
,点
满足
,记点
的轨迹为
.
(Ⅰ)求轨迹
的方程;(Ⅱ)若直线
过点
且与轨迹
交于
、
两点. (i)设点
,问:是否存在实数
,使得直线
绕点
无论怎样转动,都有
成立?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.(ii)过
、
作直线
的垂线
、
,垂足分别为
、
,记
,求
的取值范围.
答案
(Ⅰ)
解析
(Ⅰ)由
知,点
的轨迹
是以
、
为焦点的双曲线右支,由
,∴
,故轨迹
E
的方程为
…………3分
(Ⅱ)当直线
l
的斜率存在时,设直线
l
方程为
,与双曲线方程联立消
得
,设
、
,
∴
, 解得
……………5分
(i)∵
……………………7分
假设存在实数
,使得
,
故得
对任意的
恒成立,
∴
,解得
∴当
时,
.
当直线
l
的斜率不存在时,由
及
知结论也成立,
综上,存在
,使得
. …………………………………………8分
(ii)∵
,∴直线
是双曲线的右准线,…………………………9分
由双曲线定义得:
,
,
方法一:∴
…………………………………………10分
∵
,∴
,∴
………………………………………11分
注意到直线的斜率不存在时,
,综上,
…………………12分
方法二:设直线
的倾斜角为
,由于直线
与双曲线右支有二个交点,∴
,过
作
,垂足为
,则
,
∴
…(10分)
由
,得
故:
…(12分)
举一反三
若椭圆
的左、右焦点分别为
、
,抛物线
的焦点为
.若
,则此椭圆的离心率为( )
A
.
B
.
C
.
D
.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分14分)
已知直线
l
与椭圆
(
a
>
b
>0)相交于不同两点
A
、
B
,
,且
,以
M
为焦点,以椭圆的右准线为相应准线的双曲线与直线
l
相交于
N
(4,
1). (I)求椭圆的离心率
; (II)设双曲线的离心率为
,记
,求
的解析式,并求其定义域和值域.
题型:不详
难度:
|
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(本小题满分13分)已知椭圆的中心在原点O,短轴长为
,其焦点F(c,0)(c>0)对应的准线
l
与
x
轴交于A点,|OF|=2|FA|,过A的直线与椭圆交于P、Q两点.
(1)求椭圆的方程;(2)若
,求直线PQ的方程; (3)设
,过点P且平行于准线
l
的直线与椭圆相交于另一点M. 求证F、M、Q三点共线.
题型:不详
难度:
|
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已知
F
1
、
F
2
是双曲线
的两焦点,以线段
F
1
F
2
为边作正三角形
MF
1
F
2
,若边
MF
1
的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 ( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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若动点(
)在曲线
上变化,则
的最大值为( )
A.
B.
C.
D.2
题型:不详
难度:
|
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