已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)(1)求证:椭圆过定点;(2)若椭圆的离心率在[33,22]上变化时,求椭
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已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)(1)求证:椭圆过定点;(2)若椭圆的离心率在[33,22]上变化时,求椭
题型:不详
难度:
来源:
已知:直线x+y=1交椭圆mx
2
+ny
2
=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点;
(2)若椭圆的离心率在
[
3
3
,
2
2
]
上变化时,求椭圆长轴的取值范围.
答案
(1)证明:由
m
x
2
+n
y
2
=1
x+y=1
⇒(m+n)
x
2
-2nx+n-1=0
…(2分)
由△=4n
2
-4(m+n)(n-1)>0得:m+n-mn>0
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则:
x
1
+
x
2
=
2n
m+n
,
x
1
x
2
=
n-1
m+n
∵OA⊥OB,∴x
1
x
2
+(1-x
1
)(1-x
2
)=0,即2x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)+1=0,
得
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0
,即
1
2
m+
1
2
n=1
.
∴椭圆恒过定点
(
2
2
,
2
2
)
,
(
2
2
,-
2
2
)
,
(-
2
2
,
2
2
)
,
(-
2
2
,-
2
2
)
.
(2)设椭圆的焦点在x轴上,
∵
3
3
≤e≤
2
2
,∴
1
3
≤
e
2
≤
1
2
,∴
1
2
≤
m
n
≤
2
3
.
由(1)得n=2-m,代入上式,得
1
2
≤
1
2
m
-1
≤
2
3
,得
5
2
≤
1
m
≤
6
2
,
∴
5
≤2
1
m
≤
6
,
∴椭圆长轴的取值范围是[
5
,
6
].
举一反三
P为椭圆
x
2
25
+
y
2
16
=1
上一点,左、右焦点分别为F
1
,F
2
.
(1)若PF
1
的中点为M,求证
|MO|=5-
1
2
|P
F
1
|
;
(2)若∠F
1
PF
2
=60°,求|PF
1
|•|PF
2
|之值;
(3)求|PF
1
|•|PF
2
|的最值.
题型:不详
难度:
|
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求以椭圆
x
2
4
+
y
2
8
=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线方程.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知抛物线以双曲线x
2
-
y
2
2
=1的右顶点为焦点.
(1)求此抛物线方程.
(2)过焦点且倾斜角为60°的直线L交抛物线于AB,求AB.
题型:不详
难度:
|
查看答案
已知k<4,则曲线
x
2
9
+
y
2
4
=1
和
x
2
9-k
+
y
2
4-k
=1
有( )
A.相同的准线
B.相同的焦点
C.相同的离心率
D.相同的长轴
题型:楚雄州模拟
难度:
|
查看答案
平面内动点M与点P
1
(-2,0),P
2
(2,0),所成直线的斜率分别为k
1
、k
2
,且满足
k
1
k
2
=-
1
2
.
(Ⅰ)求点M的轨迹E的方程,并指出E的曲线类型;
(Ⅱ)设直线:l:y=kx+m(k>0,m≠0)分别交x、y轴于点A、B,交曲线E于点C、D,且|AC|=|BD|.
(1)求k的值;
(2)若点
N(
2
,1)
,求△NCD面积取得最大时直线l的方程.
题型:不详
难度:
|
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