已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)(1)求证:椭圆过定点;(2)若椭圆的离心率在[33,22]上变化时,求椭

已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)(1)求证:椭圆过定点;(2)若椭圆的离心率在[33,22]上变化时,求椭

题型:不详难度:来源:
已知:直线x+y=1交椭圆mx2+ny2=1于A,B两点,且OA⊥OB(O为坐标原点)
(1)求证:椭圆过定点;
(2)若椭圆的离心率在[


3
3


2
2
]
上变化时,求椭圆长轴的取值范围.
答案
(1)证明:由





mx2+ny2=1
x+y=1
⇒(m+n)x2-2nx+n-1=0
…(2分)
由△=4n2-4(m+n)(n-1)>0得:m+n-mn>0
设A(x1,y1),B(x2,y2),则:x1+x2=
2n
m+n
x1x2=
n-1
m+n

∵OA⊥OB,∴x1x2+(1-x1)(1-x2)=0,即2x1x2-(x1+x2)+1=0,
2(n-1)
m+n
-
2n
m+n
+1=0
,即
1
2
m+
1
2
n=1

∴椭圆恒过定点(


2
2


2
2
)
(


2
2
,-


2
2
)
(-


2
2


2
2
)
(-


2
2
,-


2
2
)

(2)设椭圆的焦点在x轴上,


3
3
≤e≤


2
2
,∴
1
3
e2
1
2
,∴
1
2
m
n
2
3

由(1)得n=2-m,代入上式,得
1
2
1
2
m
-1
2
3
,得


5
2


1
m


6
2



5
≤2


1
m


6

∴椭圆长轴的取值范围是[


5


6
].
举一反三
P为椭圆
x2
25
+
y2
16
=1
上一点,左、右焦点分别为F1,F2
(1)若PF1的中点为M,求证|MO|=5-
1
2
|PF1|

(2)若∠F1PF2=60°,求|PF1|•|PF2|之值;
(3)求|PF1|•|PF2|的最值.
题型:不详难度:| 查看答案
求以椭圆
x2
4
+
y2
8
=1的顶点为焦点,焦点为顶点的双曲线方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知抛物线以双曲线x2-
y2
2
=1的右顶点为焦点.
(1)求此抛物线方程.
(2)过焦点且倾斜角为60°的直线L交抛物线于AB,求AB.
题型:不详难度:| 查看答案
已知k<4,则曲线
x2
9
+
y2
4
=1
x2
9-k
+
y2
4-k
=1
有(  )
A.相同的准线B.相同的焦点
C.相同的离心率D.相同的长轴
题型:楚雄州模拟难度:| 查看答案
平面内动点M与点P1(-2,0),P2(2,0),所成直线的斜率分别为k1、k2,且满足k1k2=-
1
2

(Ⅰ)求点M的轨迹E的方程,并指出E的曲线类型;
(Ⅱ)设直线:l:y=kx+m(k>0,m≠0)分别交x、y轴于点A、B,交曲线E于点C、D,且|AC|=|BD|.
(1)求k的值;
(2)若点N(


2
,1)
,求△NCD面积取得最大时直线l的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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