已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点p满足:2OP=OM+ON(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.(I)求曲线

已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点p满足:2OP=OM+ON(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.(I)求曲线

题型:邢台一模难度:来源:
已知两点M和N分别在直线y=mx和y=-mx(m>0)上运动,且|MN|=2,动点p满足:2


OP
=


OM
+


ON
(O为坐标原点),点P的轨迹记为曲线C.
(I)求曲线C的方程,并讨论曲线C的类型;
(Ⅱ)过点(0,1)作直线l与曲线C交于不同的两点A、B,若对于任意m>1,都有∠AOB为锐角,求直线l的斜率k的取值范围.
答案
(I)由2


op
=


OM
+


ON
,得P是MN的中点.
设P(x,y),M(x1,mx1),N(x2,-mx2)依题意得:





x1+x2 =2x
mx1-mx2=2y
 (x1-x2)2+(mx1+mx2)2=4

消去x1,x2,整理得
x2
1
m2
+
y2
m2
=1

当m>1时,方程表示焦点在y轴上的椭圆;
当o<m<1时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;
当m=1时,方程表示圆.
(II)由m>1,焦点在y轴上的椭圆,直线l与曲线c恒有两交点,
因为直线斜率不存在时不符合题意,
可设直线l的方程为y=kx+1,直线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2).





y=kx+1
x2
1
m2
+
y2
m2
=1
⇒(m4+k2)x2+2kx+1-m2=0
x1+x2 =-
2k
m4+k2
x1x2=-
1-m2
m4+k2

y1 y2=(kx1+1)(kx2+1)=
k2(1-m2)
m4+k2
+
2k2
m4+k2
+1

要使∠AOB为锐角,则有


OA


OB
>0

∴x1x2+y1y2=
m4-(k2+1)m2+1 
m4+k2
>0

即m4-(k2+1)m2+1>0,
可得m2+
1
m2
> K2 +1
,对于任意m>1恒成立.
m2+
1
m2
>2
,∴K2+1≤2,-1≤k≤1
所以满足条件的k的取值范围是[-1.1].
举一反三
已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点,弦AB的中点坐标为M(1,1),求直线AB的方程.
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已知抛物线的标准方程是y2=4x,过定点P(-2,1)的直线与抛物线有两交点,则斜率k的取值范围是(  )
A.-1≤k≤
1
2
B.-1<k<
1
2
C.k>
1
2
或k<-1
D.-1<k<
1
2
且k≠0
题型:不详难度:| 查看答案
双曲线中心在原点,一条渐近线方程为y=


2
x
,准线方程为x=-


3
3

(1)求双曲线方程;
(2)若双曲线上存在关于y=kx+1对称的二点,求k范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知点B是曲线2x2+1-y=0上任意一点,A(0,4)且M是线段AB中点,求动点M的轨迹方程.
题型:不详难度:| 查看答案
已知双曲线4x2-y2=1及直线y=x+m.
(1)当m为何值时,直线与双曲线有公共点?
(2)若直线被双曲线截得的弦长为
2


14
3
,求直线的方程.
题型:不详难度:| 查看答案
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