已知B为抛物线y2=2px(p>0)上的动点(除顶点),过B作抛物线准线的垂线,垂足计为C.连接CO并延长交抛物线于A,(O为原点)(1)求证AB过定点Q.(2
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已知B为抛物线y2=2px(p>0)上的动点(除顶点),过B作抛物线准线的垂线,垂足计为C.连接CO并延长交抛物线于A,(O为原点)(1)求证AB过定点Q.(2
题型:不详
难度:
来源:
已知B为抛物线y
2
=2px(p>0)上的动点(除顶点),过B作抛物线准线的垂线,垂足计
为C.连接CO并延长交抛物线于A,(O为原点)
(1)求证AB过定点Q.
(2)若M(1,
P
),试确定B点的位置,使|BM|+|BQ|取得最小值,并求此最小值.
答案
(1)设B点坐标为(
y
B
2
2p
,y
B
),则C为(-
p
2
,y
B
)
那么直线CO的方程为y=
-
y
B
p
x
,
与抛物线联立,求解,得A点坐标为(
p
3
2
y
B
2
,-
p
2
×
y
B
),
故直线AB的方程为 2py
B
x-(y
B
2
-p
2
)y-p
2
•y
B
=0,
令x=
p
2
,则y=0,
故直线AB过定点Q(
p
2
,0).
(2)由(1)得,Q为抛物线焦点,
故|BQ|=|BC|,
根据三角形两边之和大于第三边,从而当y
B
=
p
1
2
时,即B(
1
2
,
p
)时,
|BM|+|BQ|=|BC|+|BM|=|CM|最小,
最小值为
p
2
+1.
举一反三
与椭圆
x
2
49
+
y
2
24
=1
有相同的焦点且以y=
±
4
3
x
为渐近线的双曲线方程为______.
题型:不详
难度:
|
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(1)双曲线的中心在原点,坐标轴为对称轴,一条渐近线方程
y=
4
3
x
,右焦点F(5,0),求双曲线方程;
(2)若抛物线x=
1
8
y
2
的准线经过F点且椭圆C经过P(2,3),求此时椭圆C的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知倾斜角为60°的直线L经过抛物线y
2
=4x的焦点F,且与抛物线相交于A、B两点,其中O坐标原点.
(1)求弦AB的长;
(2)求三角形ABO的面积.
题型:不详
难度:
|
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直线y=x被曲线2x
2
+y
2
=2截得的弦长为______.
题型:不详
难度:
|
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平面内与两定点A
1
(-a,0),A
2
(a,0)(a>0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹,加上A
1
、A
2
两点所在所面的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.求曲线C的方程,并讨论C的形状与m的位置关系.
题型:不详
难度:
|
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