已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的离心率为32，直线y=12x+1与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，OM=12OA+32OB．求椭圆的方程．

题型：不详难度：来源：

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，直线y=

1

2

x+1与椭圆相交于A，B两点，点M在椭圆上，

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

．求椭圆的方程．

答案

由e=

3

2

，则a²=4b²，椭圆可以转化为：x²+4y²=4b²
将y=

1

2

x+1代入上式，消去y，得：x²+2x+2-2b²=0
直线y=

1

2

x+1与椭圆相交有两个不同的点A，B
则△=4-4（2-b²）＞0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x，y）
则

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

得

x= 1 2 (x1+ 3 x2) y= 1 2 (y1+ 3 y2)

又因为M在椭圆上，所以

(x1+ 3 x2)2

4

+( y1+

3

y2)2 =4b2
代入整理可得，x₁x₂+4y₁y₂=0
所以，x1x2+4(1+

1

2

x1)(1+

1

2

 x2)=0
x₁x₂+x₁+x₂+2=0
因为，x₁+x₂=-2，x₁x₂=2-2b²，所以b²=1
所以

x2

4

+y2=1