设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP=2PA,且OQ•AB=1,求P点的轨迹方程

设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若BP=2PA,且OQ•AB=1,求P点的轨迹方程

题型:不详难度:来源:
设过点P(x,y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点,点Q与点P关于y轴对称,O为坐标原点,若


BP
=2


PA
,且


OQ


AB
=1
,求P点的轨迹方程.
答案


BP
=2


PA
及A,B分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上知,A(
3
2
x,0)
,B(0,3y),


AB
=(-
3
2
x,3y)
,由点Q与点P关于y轴对称知,Q(-x,y),


OQ
=(-x,y),则


OQ


AB
=(-
3
2
x,3y)•(-x,y)=
3
2
x2+3y2=1(x>0,y>0)

所以P点的轨迹方程为:
3
2
x2+3y2=1(x>0,y>0)
举一反三
设G、M分别为不等边△ABC的重心与外心,A(-1,0)、B(1,0),GMAB.
(1)求点C的轨迹方程;
(2)设点C的轨迹为曲线E,是否存在直线l,使l过点(0.1)并与曲线E交于P、Q两点,且满足


OP


OQ
=-2
?若存在,求出直线l的方程,若不存在,说明理由.
注:三角形的重心的概念和性质如下:设△ABC的重心,且有
GD
GC
=
GE
GA
=
GF
GB
=
1
2
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已知A(2,2),若p是圆x2+y2=4上的动点,则线段AP的中点M的轨迹方程是______.
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已知定点A(12.0),M为曲线





x=6+2cosθ
y=2sinθ
上的动点,若


AP
=2


AM
,试求动点P的轨迹C的方程.
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直线l经过抛物线y2=4x的焦点F,与抛物线交于A,B两点,则弦AB中点的轨迹方程为______.
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平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(2,-1),B(-1,3),若点C满足


OC


OA


OB
,其中0≤α,β≤1,且α+β=1,则点C的轨迹方程为______.
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