点P为圆O;x2+y2=4上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C.(I)求曲线C的方程;(II)直线l经过定点(0,2)与曲线C交于A
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点P为圆O;x2+y2=4上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M的运动轨迹为曲线C. (I)求曲线C的方程; (II)直线l经过定点(0,2)与曲线C交于A、B两点,求△OAB面积的最大值. |
答案
(Ⅰ)设P(x0,y0),M(x,y), ∵点P为圆O;x2+y2=4上一动点,PD⊥x轴于D点,记线段PD的中点M, ∴,∴,…2分 代入x2+y2=4,得曲线C的方程:+y2=1.…4分 (Ⅱ)依题意l斜率存在, 其方程为y=kx+2, 由,消去y整理得(4k2+1)x2+16kx+12=0, △=(16k)2-4(4k2+1)×12=4(4k2-3), 由△>0,得4k2-3>0,① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=.②…6分 ∴|AB|= =,③ 原点到直线l距离为d=,④…8分 由面积公式及③④得 SOAB=×|AB|d =4 =4 =4 =4 ≤4=1,…10分 当且仅当 4k2-3=,即4k2-3=4时,等号成立. 此时S△OAB最大值为1.…12分. |
举一反三
已知椭圆+=1(a>b>0)的两准线间距离为6,离心率e=.过椭圆上任意一点P,作右准线的垂线PH(H为垂足),并延长PH到Q,使得=λ(λ>0).F2为该椭圆的右焦点,设点P的坐标为(x0,y0). (1)求椭圆方程; (2)当点P在椭圆上运动时,求λ的值使得点Q的轨迹是一个定圆. |
已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0).动点P满足:•=k||2. (1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线; (2)当k=2时,求|2+|的最大值和最小值. |
设M为抛物线y2=2x上的动点,定点m0(-1,0),点P为线段m0m的中点,求P点的轨迹方程,并说明是什么曲线. |
已知圆C:(x-3)2+(y-3)2=4及定点A(1,1),M为圆C上任意一点,点N在线段MA上,且=2,求动点N的轨迹方程. |
已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM与BM相交于点M,且直线AM的斜率与BM斜率之差是2,求点M的轨迹方程. |
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