如图,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点.(1)求△AP
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如图,设抛物线C:y=x2的焦点为F,动点P在直线l:x-y-2=0上运动,过P作抛物线C的两条切线PA、PB,且与抛物线C分别相切于A、B两点. (1)求△APB的重心G的轨迹方程. (2)证明∠PFA=∠PFB. |
答案
(1)设切点A、B坐标分别为(x0,x02)和(x1,x12)((x1≠x0), ∴切线AP的方程为:2x0x-y-x02=0;切线BP的方程为:2x1x-y-x12=0. 解得P点的坐标为:xP=,yP=x0x1. 所以△APB的重心G的坐标为,yG====, 所以yp=-3yG+4xG2. 由点P在直线l上运动,从而得到重心G的轨迹方程为:x-(-3y+4x2)-2=0,即y=(4x2-x+2). (2)方法1:因为=(x0,x02-),=(,x0x1-),=(x1,x12-). 由于P点在抛物线外,则||≠0. ∴cos∠AFP===, 同理有cos∠BFP===, ∴∠AFP=∠PFB. 方法2:①当x1x0=0时,由于x1≠x0,不妨设x0=0,则y0=0,所以P点坐标为(,0), 则P点到直线AF的距离为:d1=. 而直线BF的方程:y-=x,即(x12-)x-x1y+x1=0-0. 所以P点到直线BF的距离为:d2=== 所以d1=d2,即得∠AFP=∠PFB. ②当x1x0≠0时,直线AF的方程:y-=(x-0),即(x02-)x-x0y+x0=0, 直线BF的方程:y-=(x-0),即(x12-)x-x1y+x1=0, 所以P点到直线AF的距离为:d1===, 同理可得到P点到直线BF的距离d2=,因此由d1=d2,可得到∠AFP=∠PFB. |
举一反三
已知直角坐标平面上点Q(k,0)和圆C:x2+y2=1;动点M到圆的切线长与Q| 的比值为2. (1)当 k=2 时,求点M 的轨迹方程. (2)当 k∈R 时,求点M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形. |
过抛物线y2=4x的焦点的直线l与抛物线交于A、B两点,O为坐标原点.求△AOB的重心G的轨迹C的方程. |
已知两定点A(1,1),B(-1,-1),动点P满足,则点P的轨迹是( )A.圆 | B.椭圆 | C.双曲线 | D.拋物线 | 如图所示,已知圆C:(x+1)2+y2=8,顶点A(1,0),M为圆上一动点,点P在AM上,点N在CM上,且满足=2,•=0,点N的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)过点A且倾斜角是45°的直线l交曲线E于两点H、Q,求|HQ|. | 已知定点A(-2,0),动点B是圆F:(x-2)2+y2=64(F为圆心)上一点,线段AB的垂直平分线交BF于P. (I)求动点P的轨迹方程; (II)是否存在过点E(0,-4)的直线l交P点的轨迹于点R,T,且满足•=(O为原点).若存在,求直线l的方程;若不存在,请说明理由. |
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