某校高二年级有学生1000人，在某次数学考试中，为研究学生的考试情况，需从中抽取40名学生的成绩，（1）问采用何种抽样方法更合适？（2）根据所抽取的40名学生成

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某校高二年级有学生1000人，在某次数学考试中，为研究学生的考试情况，需从中抽取40名学生的成绩，
（1）问采用何种抽样方法更合适？
（2）根据所抽取的40名学生成绩，分组在，，的频率分布直方图中对应的小矩形的高分别是，问所取的40名学生的成绩不低于分的共有多少人？
（3）在（2）所求的成绩不低于分的学生中任取2人为一组（不分先后）,求至少有1人的成绩在内的概率.

答案

（1）系统抽样
（2）所取40名学生成绩不低于120分的有8人
（3）至少有1人的成绩在内的概率为

解析

（1）系统抽样方法更合适.
(2)由题意得：在分组，，中的学生频率分别是
，，  所以所取的40名学生的成绩不低于120分的人数为：
人（3）由（2）知成绩在的学生有4人，设编号为1、2、3、4
成绩在的学生有2人，设编号为5、6
成绩在的学生有2人，设编号为7、8
则从这8人中任取2人为一组共有的分组方法为：
（1、2）、（1、3）、（1、4）、（1、5）、（1、6）、（1、7）、（1、8）
（2、3）、（2、4）、（2、5）、（2、6）、（2、7）、（2、8）
（3、4）、（3、5）、（3、6）、（3、7）、（3、8）
（4、5）、（4、6）、（4、7）、（4、8）
（5、6）、（5、7）、（5、8）
（6、7）、（6、8）
（7、8）
共28种分组方法，且是等可能基本事件
记事件A为“至少有1人的成绩在内”.
则事件为“2人的成绩均在内”
因为事件所包含的基本事件有6个，所以：＝＝ .
. 答：（1）系统抽样
（2）所取40名学生成绩不低于120分的有8人
（3）至少有1人的成绩在内的概率为

举一反三

某校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从

道备选题中一次性随机抽取

题，按照题目要求独立完成全部实验操作. 规定：至少正确完成其中

题的便可通过考查. 已知

道备选题中考生甲有

题能正确完成，

题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是

，且每题正确完成与否互不影响. 求：
（1）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（2）试用统计知识分析比较两考生的实验操作能力.

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（（本小题满分12分）甲与乙进行一场乒乓球单打比赛时，甲获胜的局数

的期望

，每场比赛打满3局。（I）甲、乙进行一场比赛，通过计算填写下表（不必书写计算过程）；

甲获胜的局数	0	1	2	3
3相应的概率

（II）求在三场比赛中，至少有两场比赛甲胜1局或2局的概率。

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某校调查了高三年级1000位同学的家庭月平均收入情况，得到家庭月平均收入频率分布直方图如图，
（1）某企业准备给该校高三同学发放助学金，发放规定如下：家庭收入在4000元以下的每位同学得助学金2000元，家庭收入在

（元）间的每位同学得助学金1500元，家庭收入在

（元）间的每位同学得助学金1000元，家庭收入在

（元），间的同学不发助学金，记该年级某位同学所得助学金为

元，写出

的分布列，并计算该企业发放这个年级的助学金约需要的资金；
（2）记该年级某班同桌两位同学所得助学金之差的绝对值为

元，求

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某企业准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产

万件的该种产品所需要的总成本为

万元，市场销售情况可能出现好、中、差三种情况，各种情况发生的概率和相应的价格p（元）与年产量x之间的函数关系如下表所示.

市场情况	概率	价格p与产量x的函数关系式
好	0.3
中	0.5
差	0.2

设L₁、L₂、L₃分别表示市场情况好、中、差时的利润，随机变量ξ_x表示当年产量为x而市场情况不确定时的利润.
（1）分别求利润L₁、L₂、L₃与年产量x之间的函数关系式；
（2）当产量x确定时，求随机变量ξ_x的期望Eξ_x；
（3）求年产量x为何值时，随机变量ξ_x的期望Eξ_x取得最大值（不需求最大值）.

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把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为

，第二次出现的点数记为

，试就方程组

解答下列各题：
（Ⅰ）求方程组只有一组解的概率；
（Ⅱ）求方程组只有正数解的概率.

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