已知集合A={x|-1≤x≤0},集合B={x|ax+b•2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}.(1)若a,b∈N,求A∩B≠∅的概率;(2)若a,b∈R,求
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已知集合A={x|-1≤x≤0},集合B={x|ax+b•2x-1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}. (1)若a,b∈N,求A∩B≠∅的概率; (2)若a,b∈R,求A∩B=∅的概率. |
答案
(1)因为a,b∈N,(a,b)可取(0,1),(0,2),(0,3),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)共9组. 令函数f(x)=ax+b•2x-1,x∈[-1,0],则f′(x)=a+bln2•2x. 因为a∈[0,2],b∈[1,3],所以f′(x)>0,即f(x)在[-1,0]上是单调递增函数. f(x)在[-1,0]上的最小值为-a+-1.要使A∩B≠∅,只需-a+-1<0, 即2a-b+2>0.所以(a,b)只能取(0,1),(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)7组. 所以A∩B≠∅的概率为.
(2)因为a∈[0,2],b∈[1,3], 所以(a,b)对应的区域为边长为2的正方形(如图),面积为4. 由(1)可知,要使A∩B=∅, 只需f(x)min=-a+-1≥0⇒2a-b+2≤0, 所以满足A∩B=∅的(a,b)对应的区域是如图阴影部分. 所以S阴影=×1×=,所以A∩B=∅的概率为:P=. |
举一反三
在[-6,9]内任取一个实数m,设f(x)=-x2+mx+m,则函数f(x)的图象与x轴有公共点的概率等于______. |
已知方程x2+2ax+b2=0是关于x的一元二次方程. (1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数,b是从0,1,2三个数中任取的一个数,求上述方程有实数根的概率; (2)若a,b分别是区间[0,3],[0,2]内的随机数,求上述方程有实数根的概率. |
将一颗骰子先后抛掷2次,观察向上的点数以第一次向上点数为横坐标x,第二次向上的点数为纵坐标y的点(x,y)在圆x2+y2=25的内部的概率为______. |
若实数a,b满足a2+b2≤1,则关于x的方程x2-2x+a+b=0有实数根的概率是______. |
如图面积为4的矩形ABCD中有一个阴影部分,若往矩形ABCD投掷1000个点,落在矩形ABCD的非阴影部分中的点数为400个,试估计阴影部分的面积为( )
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