已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),下面四种说法①f(3)=1;②函数f(x)在[-6,
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已知定义在R的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1),下面四种说法 ①f(3)=1; ②函数f(x)在[-6,-2]上是增函数; ③函数f(x)关于直线x=4对称; ④若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上所有根之和为-8, 其中正确的序号______. |
答案
取x=1,得f(1-4)=f(-3)=-f(1)=-log2(1+1)=-1,所以f(3)=-f(-3)=1,故①正确; 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),则f(x-4)=f(-x), ∴f(x-2)=f(-x-2), ∴函数f(x)关于直线x=-2对称, 由于函数对称中心原点(0,0)的对称点为(4,0),故函数f(x)也关于(4,0)点对称,故③不正确; ∵x∈[0,2]时,f(x)=log2(x+1)为增函数, 由奇函数在对称区间上单调性相同可得,x∈[-2,0]时,函数为单调增函数, ∴x∈[-2,2]时,函数为单调增函数, ∵函数f(x)关于直线x=-2对称,∴函数f(x)在[-6,-2]上是减函数,故②不正确; 若m∈(0,1),则关于x的方程f(x)-m=0在[-8,8]上有4个根,其中两根的和为-6×2=-12,另两根的和为2×2=4,所以所有根之和为-8.故④正确 故答案为:①④ |
举一反三
下列命题中,真命题是______. ①若f′(x0)=0,则函数f(x)在x=x0处取极值. ②函数f(x)=lnx+x-2在区间(1,e)上存在零点. ③“a=1”是函数f(x)=在定义域上是奇函数的充分不必要条件. ④将函数y=2cos2x-1的图象向右平移个单位可得到y=sin2x的图象. ⑤点(,)是函数f(x)=cosx(sinx+cosx)图象的一个对称中心. |
对函数y=|sinx|,下列说法正确的是______(填上所有正确的序号). (1)值域为[0,1] (2)函数为偶函数 (3)在[0,π]上递增 (4)对称轴为x=+kπ,k为整数. |
对于函数f(x)定义域中任意的x1,x2(x1≠x2),有如下结论: (1)f(x1+x2)=f(x1)f(x2) (2)f(x1x2)=f(x1)+f(x2) (3)>0 当f(x)=ex时,上述结论中正确结论的序号是______. |
下列函数中:(1)y=|x+|(2)y=(3)y=+-2(4)y=,其中最小值为2的函数是______(填正确命题的序号) |
下列命题中正确的有______(填正确命题的序号). (1)空集是任意集合的真子集; (2)若f(1)+f(-1)=0,则函数f(x)是奇函数; (3)函数y=()-x 的反函数为y=log2x; (4)函数y=f(x)是区间(a,b)上的增函数,则函数y=2012f(x)-也是区间(a,b) 上的增函数; (5)若函数f (x)满足f(-x)=f(x),且当x∈[0,+∞)时f(x)=x2+2x-2,则关于x不等式f(x-1)<1的解集为(0,2). |
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