对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f′(x)是y=f(x)的导函数y=f′(x)的导函数,若方程f′(x)=0有实数解x0,则称点(
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对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),定义f′(x)是y=f(x)的导函数y=f′(x)的导函数,若方程f′(x)=0有实数解x0,则称点(
题型:自贡三模
难度:
来源:
对于三次函数f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),定义f′(x)是y=f(x)的导函数y=f′(x)的导函数,若方程f′(x)=0有实数解x
0
,则称点(x
0
,f(x
0
))为函数y=f(x)的“拐点”,可以发现,任何三次函数都有“拐点”,任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,请你根据这一发现判断下列命题:
①任意三次函数都关于点(-
b
3a
,f(-
b
3a
))对称:
②存在三次函数f′(x)=0有实数解x
0
,点(x
0
,f(x
0
))为麵y=f(x)的对称中心;
③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心;
④若函数g(x)=
1
3
x
3
-
1
2
x
2
-
5
12
,则,g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)=-105.5.
其中正确命题的序号为______(把所有正确命题的序号都填上).
答案
∵f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d(a≠0),
∴f′(x)=3ax
2
+2bx+c,f""(x)=6ax+2b,
∵
f
″
(x)=6a×(-
b
3a
)+2b=0
,
∴任意三次函数都关于点(-
b
3a
,f(-
b
3a
))对称,即①正确;
∵任何三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心,
∴存在三次函数f′(x)=0有实数解x
0
,点(x
0
,f(x
0
))为y=f(x)的对称中心,即②正确;
任何三次函数都有且只有一个对称中心,故③不正确;
∵g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
,
∴g′(x)=x
2
-x,g""(x)=2x-1,
令g""(x)=2x-1=0,得x=
1
2
,
∵g(
1
2
)=
1
3
×(
1
2
)
3
-
1
2
×(
1
2
)
2
-
5
12
=-
1
2
,
∴函数g(x)=
1
3
x3-
1
2
x2-
5
12
的对称中心是(
1
2
,-
1
2
),
∴g(x)+(g(1-x)=-1,
∴g(
1
2012
)+g(
2
2012
)+g(
3
2012
)+…+g(
2011
2012
)=-105.5,故④正确.
故答案为:①②④.
举一反三
给出四个命题
①若cosα=cosβ,则α-β=2kπ,k∈Z.
②函数
y=2cos(2x+
π
3
)
的图象关于点
(
π
12
,0)
对称.
③函数y=sin|x|是周期函数.
④函数y=cos(sinx)(x∈R)是偶函数.
其中正确的是______.
题型:不详
难度:
|
查看答案
下列四个命题:
(1)存在与两条异面直线都平行的平面;
(2)过空间一点,一定能作一个平面与两条异面直线都平行;
(3)过平面外一点可作无数条直线与平面平行;
(4)过直线外一点可作无数个平面与直线平行;
其中正确的命题是( )
A.(1)(3)
B.(2)(4)
C.(1)(3)(4)
D.(2)(3)(4)
题型:不详
难度:
|
查看答案
下列命题:
①函数y=2
x
的图象与函数y=2
-x
的图象关于y轴对称
②函数y=2
x
的图象与函数y=-2
x
的图象关于x轴对称
③函数y=2
x
的图象与函数
y=-(
1
2
)
x
的图象关于原点对称
④函数y=2
x
的图象与函数y=log
2
x的图象关于直线y=x轴对称
以上命题中,正确命题的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
题型:不详
难度:
|
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下列四个命题中:①“等边三角形的三个内角均为60?”的逆命题;
②“若k>0,则方程x
2
+2x-k=0有实根”的逆否命题;
③“全等三角形的面积相等”的否命题;
④“若ab≠0,则a≠0”的否命题.
其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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给出下列三个命题:
①若奇函数f(x)对定义域内任意x都有f(x)=f(2-x),则f(x)为周期函数;
②若函数f(x)=2
x
,g(x)=log
2
x,则函数y=f(2x)与y=
1
2
g(x)的图象关于直线y=x对称;
③函数y=
1
2
ln
1-cosx
1+cosx
与y=lntan
x
2
是同一函数. 其中真命题的个数是( )
A.0
B.1
C.2
D.3
题型:不详
难度:
|
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