已知x、y∈R,命题p为x>y,命题q为x+sinycosx>y+sinxcosy.则命题p成立是命题q成立的(  )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充

已知x、y∈R,命题p为x>y,命题q为x+sinycosx>y+sinxcosy.则命题p成立是命题q成立的(  )A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充

题型:不详难度:来源:
已知x、y∈R,命题p为x>y,命题q为x+sinycosx>y+sinxcosy.则命题p成立是命题q成立的(  )
A.充分非必要条件B.必要非充分条件
C.充要条件D.非充分非必要条件
答案
不等式x+sinycosx>y+sinxcosy
等价为(x-y)-(sinxcosy-sinycosx)>0
即(x-y)-sin(x-y)>0
∴sin(x-y)<x-y
设x-y=t,则当x>y时,t>0,
且sint<t,
设g(t)=sint-t,
则g"(t)=cost-1≤0,
∴g(t)=sint-t单调递减.
∵g(0)=0,
∴当t>0时,g(t)<g(0)=0,
即sint<t成立
∴x+sinycosx>y+sinxcosy成立.
先看充分性:已知x>y,由上面推导过程可知sin(x-y)<x-y,p成立是q成立的充分条件.
再看必要性:已知sin(x-y)<x-y,则x>y,p成立是q成立的必要条件
综上,命题p成立是命题q成立的充要条件.
故选:C.
举一反三
设命题甲为“0<x<5”,命题乙为“|x-2|<3”,那么甲是乙的______条件.
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已知命题p:m∈[-1,1],命题q:a2-5a-3-


m2+8
≥0,若p是q的充分条件,求a的取值范围.
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设a∈R,则“a=1”是“直线y=a2x+1与直线y=x-1平行”的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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设α,β是锐角,则α+β=
π
4
是(1+tanα)(1+tanβ)=2的______条件(填充分不必要、必要不充分、充要和既不充分也不必要).
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在△ABC中,sinA>sinB是A>B的(  )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
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