设函数f（x）=x|x-a|+b（1） 求证：f（x）为奇函数的充要条件是a2+b2=0；（2）设常数b＜22-3，求对任意x∈[0，1]，f（x）＜0的充要条

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=x|x-a|+b
（1） 求证：f（x）为奇函数的充要条件是a²+b²=0；
（2）设常数b＜2

2

-3，求对任意x∈[0，1]，f（x）＜0的充要条件．

答案

（1）充分性：若a²+b²=0∴a=b=0
∴f（x）=x|x|对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0
∴f（x）为奇函数，故充分性成立．（2分）
必要性：若f（x）为奇函数
则对任意的x∈R都有f（-x）+f（x）=0恒成立，
即-x|-x-a|+b+x|x-a|+b=0
令x=0，得b=0；令x=a，得a=0．∴a²+b²=0（6分）
（2）由b＜2

2

-3＜0，当x=0时a取任意实数不等式恒成立
当0＜x≤1时f（x）＜0恒成立，也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上单调递增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-

b

x

，则h（x）在（0，

-b

]上单调递减，[

-b

，+∞）单调递增
1°当b＜-1时h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上单调递减
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．（12分）
2°当-1≤b＜2

2

-3时，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．（14分）