f(x) |
x |
f(x) |
x2 |
x | a | b | c | a+b+c | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
f(x) | d | d | t | 4 | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(I)因为f(x)∈Ω1,且f(x)∉Ω2, 即g(x)=
而h(x)=
又∵h′(x)=1+
当h(x)是增函数时,有h≥0,所以当h(x)不是增函数时,h<0 综上,得h<0 …(4分) 证明:(Ⅱ) 因为f(x)∈Ω1,且0<a<b<c<a+b+c, 所以
同理可证f(b)=d<
三式相加得f(a)+f(b)+f(c)=2d+t<
所以2d+t-4<0 …(6分) 因为
而0<a<b,所以d<0 所以d(2d+t-4)>0 …(8分) (Ⅲ) 因为集合Φ={f(x)|f(x)∈Ω2,且存在常数k,使得任取x∈(0,+∞),f(x)<k}, 所以∀f(x)∈Φ,存在常数k,使得 f(x)<k 对x∈(0,+∞)成立 我们先证明f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立 假设∃x0∈(0,+∞),使得f(x0)>0, 记
因为f(x)是二阶比增函数,即
所以当x>x0时,
所以一定可以找到一个x1>x0,使得f(x1)>mx12>k 这与f(x)<k 对x∈(0,+∞)成立矛盾 …(11分) 即f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立 所以∀f(x)∈Φ,f(x)≤0对x∈(0,+∞)成立 下面我们证明f(x)=0在(0,+∞)上无解 假设存在x2>0,使得f(x2)=0, 则因为f(x)是二阶增函数,即
一定存在x3>x2>0,使
所以f(x)=0在(0,+∞)上无解 综上,我们得到∀f(x)∈Φ,f(x)<0对x∈(0,+∞)成立 所以存在常数M≥0,使得∀f(x)∈Φ,∀x∈(0,+∞),有f(x)<M成立 又令f(x)=-
又有
而任取常数k<0,总可以找到一个xn>0,使得x>xn时,有有f(x)>k 所以M的最小值 为0 …(16分) | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
命题“∃x>0,x2-x≤0”的否定是( )
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命题p:∀x∈(0,
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命题 p:∃x0∈R,使得x2+x+1<0,命题q:∀x∈(0,
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有四个关于三角函数的命题: P1:∃x∈R,sinx+cosx=2; P2:∃x∈R,sin2x=sinx; P3:∀x∈[-
其中真命题是( )
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对于函数f(x)=
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