已知椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为12，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为332，设斜率为k的直线过

题型：不详难度：来源：

已知椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率为

1

2

，A（-a，0），B（0，b），且△ABF的面积为

3 3

2

，设斜率为k的直线过点F，且与椭圆E相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若 

27

13

≤

AM

•

AN

≤

27

7

，求k的取值范围．

答案

（Ⅰ）∵离心率为

1

2

，∴a=2c，b=

3

c．  
∵△ABF的面积为

3 3

2

，
∴

1

2

(2c+c)×

3

c=

3 3

2

，∴c=1
∴a=2，∴b=

3

∴椭圆E的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（Ⅱ）斜率为k的直线过点F，设方程为y=k（x-1）与

x2

4

+

y2

3

=1联立，消元可得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8k2

3+4k2

，x1x2=

4k2-12

3+4k2

∴y₁y₂=k²（x₁-1）（x₂-1）=

-9k2

3+4k2

∴

AM

•

AN

=(x1+2，y1)•( x2+2，y2)=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+y₁y₂=

27k2

3+4k2

∵

27

13

≤

AM

•

AN

≤

27

7

，∴

27

13

≤

27k2

3+4k2

≤

27

7

∴

1

3

≤k2≤1
∴

3

3

≤k≤1或-1≤k≤-

3

3

∴k的取值范围是[

3

3

，1]∪[-1，-

3

3

]．